偶関数を微分すると、奇関数？

ねこ騙し数学　偶関数を微分すると、奇関数？

 

偶関数と奇関数、憶えているケロか？

関数ｆの定義域をI とすると、定義域Iが含むすべてのxについて

偶関数　f(–x) = f(x)

奇関数　f(–x) = –f(x)
が成立する関数だにゃ。

偶関数の代表的な例として

奇関数の例としては

などがあるにゃ。

たとえば、ならば

になるので、偶関数。

そして、ならば

 

となり、奇関数となるケロ。

 

で、偶関数が微分可能だとするにゃ。
たとえば。

これを微分すれば、

となり、奇関数となるにゃ。

同様に、奇関数の場合、たとえば、の導関数f'(x) は

となり、f'(x) は偶関数となるにゃ。

 

 

こうしたことが、一般に言えるかどうか？

 

 

問題

f(x) は微分可能な偶関数である。このとき、導関数f'(x) が奇関数になることを、微分の定義から証明するせよ。

【解】

証明すべき内容は、

だケロ。

導関数の定義より、f'(－x) は

で、f(x) は偶関数なので、

になるので、①は

となるケロ。

で、k = –h とすると、 h → 0 のとき k → 0 になるにゃ。

だ・か・ら、

となって、

となりますにゃ。
【証明終了】

このことから、f(x) が偶関数ならば、

ということも分かるにゃ。

 

 

で、宿題！！

 

宿題

f(x) は微分可能な奇関数とする。このとき、f'(x) が偶関数になることを証明するケロ。

【ヒント】

奇関数だから、

これを①に代入すれば・・・。

タグ：微分積分

コメント 1

証明終了後の補足、微分可能な偶関数でのみ成り立ち、一般の偶関数では成立しないことを理解せず、そこだけ暗記して使う人現れそう。
by 匿名 (2022-06-13 12:08)