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相加平均と相乗平均など [ネコ騙し数学]

相加平均と相乗平均など

 

brageloneさんからのコメントがありましたので、昨晩アップした「ねこ騙し数学 公式集(基本編)」(←をクリックでしょ)に関連する話を少しばかりします。

まずは、相加平均≧相乗平均の証明から。

 

相加平均と相乗平均など_htm_7d9ccab8.gif

左辺と右辺の差をとると

相加平均と相乗平均など_htm_mfc9033a.gif

となるので、①が成り立ちます。

a – √b は実数なので、この2乗はかならず0以上だから、こうなる。

この不等式が使えるのは、a ≧ 0、b ≧ 0 の時ですよ。

 ――― a < 0 , b < 0 のときも工夫をすれば使えるけれど、間違いを犯す元になるので、今ここでは教えない!! ―――

a < 0, b > 0a > 0, b < 0という組み合わせの場合、ルートの中身が負になり、ab が虚数になるのでこの不等式は使えない。
 ―――虚数や複素数(実数を除く)には、そもそも、大小なんてものはない!!―――

a = –1b = –1 とすればわかりますが、このときは

相加平均と相乗平均など_htm_m10cac052.gif

になり、この不等式は成り立たない。
ですから、a < 0, b < 0 の場合にもこの不等式は使えない。

 

で、 ②で

相加平均と相乗平均など_htm_33853774.gif

と置き換えると、②は

相加平均と相乗平均など_htm_5b90dc03.gif

となり、公式集(基本編)の乗法公式を使っていることがわかります。

 

相加平均と相乗平均など_htm_mbb0b4c1.gif

の証明も、この公式の乗法公式を使うと行える。

相加平均と相乗平均など_htm_7e5f1e6a.gif

とすると、上の式は

相加平均と相乗平均など_htm_6c16d123.gif

これだと、まだピンとこないかもしれませんが、この両辺を3倍すると

相加平均と相乗平均など_htm_m69b3e3a3.gif

となる。

で、この不等式の左辺と右辺の差をとると

相加平均と相乗平均など_htm_74d226ca.gif

そして、

相加平均と相乗平均など_htm_ea9b664.gif
さらに、x + y + z ≧ 0 だから、

相加平均と相乗平均など_htm_m725bcbf5.gif

となり、

相加平均と相乗平均など_htm_mbbf8ed5.gif

 

ですから、この証明に必要なものは、公式集(基本編)にすべて出ている(ニコニコ)。

適当に公式をピックアップしたわけじゃ~ない。


で、この相加平均・相乗平均の公式を使うと、こういった問題の答を暗算で出すことが出来る。 

 

問題1 次の最小値を求めよ。

相加平均と相乗平均など_htm_m385d992e.gif

という問題はたちどころに解けてしまう。

x>0, 1/x > 0 なので、相加平均≧相乗平均の不等式が使えて

相加平均と相乗平均など_htm_1bed4184.gif

そして、等号成立は

相加平均と相乗平均など_htm_5f42ea89.gif

と、x > 0 という条件を合わせると、x = 1 となる。
x = 1 のときに最小で、最小値は2。

 

さらに、

 

問題2 x + y = 1x ≧ 0、 y ≧ 0 のとき、x y の最大値はいくらか。

という問題も

相加平均と相乗平均など_htm_m3242730e.gif

そして、 この不等式の等号が成立するのは、

x = y のときで、x = y x+y = 1 から、x = y = 1/2 となり、条件を満たしている。

そして、x = y = 1/2のとき、xy = 1/4

よって、このxy の最大値は1/4

 

ですが、問題2は、次のように解いた方が安全。

x+y = 1

y = 1 – x

で、y ≧ 0 という条件があるので、

1 – x ≧ 0

x ≦ 1

さらに 0 ≦ x という条件があるので、0 ≦ x ≦ 1 となる。

相加平均と相乗平均など_htm_299311c4.gif

として、2次関数にすると

相加平均と相乗平均など_htm_64df3258.gif

となる。

 ―――ここで、二次式の基本変形を使っている―――

そして、このグラフを書くと、

相加平均と相乗平均など_htm_m1310ef09.jpg
となる。

この図を見ると明らかなように、

0 ≦ x ≦ 1 でのf(x) の最大値は x=1/2の時で、最大値はf(1/2) =1/4 であることがわかる。

よって、xy は、x = y =1/2のとき最大で、最大値は1/4

ちょっと大げさすぎるけれど、こうやって解いた方が安全だし、間違いを犯しにくい。


タグ:数学
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