ねこ騙し数学 相加平均≧相乗平均の危ない使い方

ねこ騙し数学　相加平均≧相乗平均の危ない使い方

 

 

 

問題　a + b = 1, a > 0, b > 0 のとき、

の最小値を求めよ。

 

 「相加平均≧相乗平均が使えるじゃないか」と喜んで、

なんてやったら、即身成仏（笑）。

受験生ならば、「来年、また、受験してください」となってしまう。

何故だか、わかりますか？

 

等号が成立するときは、a = 1/a、b = 1/b 、a > 0, b > 0 ということで、a = b = 1 になってしまい、a + b = 2 ≠ 1となって条件を満たさない。

 

じゃあ、どうやるか。

そして、

となるので、

はabが最大のときに最小でその値は、1/2になる。

これで準備完了。

はab が最大のときに最小になるので、

もab が最大のときに最も小さくなる。なぜならば、分子が一番小さく、分母が一番大きいから。

よって、

 

あるいは、

a = b =1/2 のときに最小になるので、

 

よって、最小値は25/2。

 

a+b = 1 という条件の時、8 という値は小さすぎるんですよ。

 

ちなみに、の最小値を求めるとき、a + b = 1 → b = 1 – a として、これに代入すると

となるので、

として、最小値を求めてもいい。

 

二次関数を使ってa + b = 1のとき、ab の最大値を求めるのは、
前の記事で書きましたら、それを参考にしてください。

 

で、a + b = 1 なので、これをつかってｂを消去すると

となる。

これをグラフにすると、

確かに、a =1/2 のときに、最小値が25/2 = 12.5 になっている。

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