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ネムネコ 問題を解く(数列編) [ネコ騙し数学]

ねこ騙し数学 ネムネコ、問題を解く(数列編)

 

数学の、とある本の章末問題にこんな問題があったので解いてみた。

 

 

問題

弱ったな_htm_3c12db0b.gif

とするとき、数列弱ったな_htm_m5e8a466d.gifは極限が存在すること、およびその極限は1/2の間にあることを示せ。


 

【解(?)】
弱ったな_htm_3c12db0b.gif

弱ったな_htm_5593ccee.gif

よって、

弱ったな_htm_m48e81f1b.gif

となり、

弱ったな_htm_m5e8a466d.gifは単調減少数列で、

すべてのnに対して弱ったな_htm_m72d8a71a.gifであることは明らか(下に有界)。

よって、弱ったな_htm_m5e8a466d.gif収束する。

 

弱ったな_htm_3c12db0b.gif

これを見て、

瞬間的に

弱ったな_htm_5f7c3453.gif

を思いつき、

よって、

弱ったな_htm_dcdf04.gif

 

あるいは、

弱ったな_htm_m4344637.gif

よって、

弱ったな_htm_dcdf04.gif

というのは、極限値を、直接、求めちゃっているからな(ポリポリ)。




「⑨ネコ、ちょっと待った!!

お前、

弱ったな_htm_5f7c3453.gif

弱ったな_htm_m4344637.gif

をどうやって導いた?」

「女神様が教えてくれたんだ。頭にポンと浮かんだんだから、オレにも理由なんかわからねえよ!!」

 ―――ラマルジャンの真似をする(ポリポリ)―――

「⑨ネコ、ちょっと待て、

弱ったな_htm_5f7c3453.gif

から言えるのは、

弱ったな_htm_m7ff05189.gif

ではないのか?」

ネムネコ、ここで死んだふりをする(ポリポリ)。


さて、
弱ったな_htm_5f7c3453.gif
から、
弱ったな_htm_dcdf04.gif
が言えるのか?

それとも、
弱ったな_htm_m7ff05189.gif
しか言えないのだろうか?



kyusuu.GIF


上のグラフは、
弱ったな_htm_3c12db0b.gif
を実際にn = 1~1000の範囲で計算したものだにゃ。

赤い線が

弱ったな_htm_3c12db0b.gif

青い線が

弱ったな_htm_m7b7df076.gif

空色の線が

弱ったな_htm_m78f15fd0.gif

だケロ。

弱ったな_htm_1f9613cf.gif

になっているケロ。
そして、log2 に収束しているにゃ。

この級数は、収束が遅いので、グラフの横軸は対数目盛り弱ったな_htm_m3f97648e.gifを使っているケロ。

だから、

0のところはn = 11 ,2 , 3 は順にn = 10, 100, 1000 だケロ。


タグ:数列 極限
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