第２８回 一様収束とノルム２

第２８回　一様収束とノルム２

 

前回紹介したノルムを使って問題を解いてみるニャ。

 

問題　x ≧ 0 において

の収束を示せ。また、この収束は一様か。
【解】

（１）x = 0 のとき、

よって極限関数f(x) は

f(x) = 1 (x = 0)

f(x) = 0 (x > 0)

だケロ。

よって、

だから、一様収束でなく、各点収束。

 

ノルムを使うとこうなるのだけれど、

極限関数はx = 0 で不連続になるので、一様収束でなく各点収束である、
としてもいいにゃ。

このノルムはわかりづらいと思うので、わからなかったらわからないでいいにゃ。

 

（２）

なので、極限関数f(x) = 0 だにゃ。

で、ノルムを求めるのに、微分を使うんだにゃ。

微分、覚えているケロか？

微分すると、

よって、x = 1/n のときに最大値（極大値）になる。

よって、ノルムは

となり、

これは一様収束する。

収束の仕方は

みたいな感じ。

xの値にかかわらず

の範囲に収まっているから、一様収束するってわけ。

 

（３）これも極限関数は０だケロ。

よって、はx = 2/n で極大（最大）。

よって、一様収束する。

 

収束の様子は

みたいな感じ。

xの値にかかわらず

だから、一様収束するってわけ。

まぁ、こんな感じでノルムを使って一様収束の判定を行ったりするんだケロ。

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