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第30回 一様収束と順序の交換 [ネコ騙し数学]

第30回 一様収束と順序の交換

 

 

定理

有界閉区間[a, b]で連続な関数列第30回 一様収束と順序の交換_htm_73e7b649.gif[a, b]上でに一様収束すれば、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m4feee819.gif

が成り立つ。

 

前回、少しだけ話したこの定理を証明するにゃ。

 

【証明】

第30回 一様収束と順序の交換_htm_4e2eb844.gif

一様収束なので、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_5dba1364.gif

となり、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_6dc221f4.gif

 

第30回 一様収束と順序の交換_htm_10cfe48a.gif[a,b]で連続だから[a,b] で積分可能。また、第30回 一様収束と順序の交換_htm_10cfe48a.gif[a,b]上でに一様収束するので、f[a,b]上の連続関数となり積分可能。

あと、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m424f69f7.gif

という積分の性質を使っているケロ。

 

ε-δ論法を用いた証明がよければ、

一様収束するので、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_be7d816.gif

よって、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_fc33675.gif

となり、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_6dc221f4.gif

 

ということで、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_73e7b649.gif[a, b] で連続かつfに一様収束するならば、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_6dc221f4.gif

が成立するんだにゃ。

 

この定理の有り難味はちょっとわかりづらいかと思うんだけれど、

例えば、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m33fd84.gif

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m41b58dd7.gif

というのは、xが実数全域でf(x) = 0 に一様収束するのだから、積分なんかする必要もなくて、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m510ee96a.gif

であることがわかるんだケロ。

 

でも、まぁ、この定理は、積分の計算で実用的というよりも理論的な意味で重要な定理ではあるんだけれど・・・。

【宿題】 次の式で定義される関数列第30回 一様収束と順序の交換_htm_73e7b649.gifが一様に収束することを示すケロ!!

第30回 一様収束と順序の交換_htm_6cd2b40f.gif

 




定理

[a, b] 上の第30回 一様収束と順序の交換_htm_3de2d9de.gif級の関数列第30回 一様収束と順序の交換_htm_277dca7a.gifが関数fに各点で収束し、さらに第30回 一様収束と順序の交換_htm_398ce099.gif[a, b] 上で一様収束するならば

第30回 一様収束と順序の交換_htm_137f8b20.gif

が成り立つ。

【証明】

第30回 一様収束と順序の交換_htm_22c3ffbc.gifgに一様収束、c ∈[a, b] で固定する。第30回 一様収束と順序の交換_htm_277dca7a.gif第30回 一様収束と順序の交換_htm_3de2d9de.gif級なので第30回 一様収束と順序の交換_htm_22c3ffbc.gifは連続であり、微積分の基本定理より

第30回 一様収束と順序の交換_htm_5fc6048.gif
第30回 一様収束と順序の交換_htm_277dca7a.giffに各点で収束し、第30回 一様収束と順序の交換_htm_22c3ffbc.gifgに一様収束するので、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m3aee49c6.gif
は連続なので第30回 一様収束と順序の交換_htm_7172a468.gifは微分可能であるから、も微分可能で

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m11ec7674.gif

となる。

 

微分の場合は、第30回 一様収束と順序の交換_htm_73e7b649.gifが各点収束し、第30回 一様収束と順序の交換_htm_59179d9c.gifが一様収束する必要があるんだケロ。

 

例を挙げてみると、[0,1] 

第30回 一様収束と順序の交換_htm_5623db2c.gif

これは、微分すると

第30回 一様収束と順序の交換_htm_m7e77b2f4.gif

これが0に一様収束であることは前にやったにゃ。
で、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_5623db2c.gif
f(x) = 0 に各点収束するので、この定理が使えるんだケロ。

第30回 一様収束と順序の交換_htm_18f4f9d.gif

一体、何をやっているんだって話になるんだけれど(ポリポリ)。

 

今回は、純粋に理論的な話だと、諦めてくんな。

第30回 一様収束と順序の交換_htm_5623db2c.gif[0,1] で、n→∞のとき0に収束することは、

第30回 一様収束と順序の交換_htm_1e303d05.gif

からわかるケロ。


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