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第32回 関数項級数の一様収束 [ネコ騙し数学]

第32回 関数項級数の一様収束

 

前回の第31回で少し触れたけれど、関数項級数は関数列の一種なので、これまで紹介してきた関数列の諸性質をそのまま引き継いでいるニャ。

定理 任意の関数第32回 関数項級数の一様収束_htm_m186f7090.gifA上で連続であって第32回 関数項級数の一様収束_htm_6734399.gifA上で一様収束するならば、関数第32回 関数項級数の一様収束_htm_6734399.gifは連続である。

 

これは第26回で紹介した

定理
第32回 関数項級数の一様収束_htm_me546e02.gifA上で連続な関数列とする。A上で第32回 関数項級数の一様収束_htm_me546e02.gifgに一様収束するならば、は連続である。

 

を関数項級数に言い換えたものだにゃ。
第32回 関数項級数の一様収束_htm_m33dc85c2.gif

と置き換えたもの。


 

第30回の


定理

有界閉区間[a, b]で連続な関数列第32回 関数項級数の一様収束_htm_me546e02.gif[a, b]上でに一様収束すれば、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_39cf3c4c.gif

が成り立つ。


を関数項級数に言い換えれば、

 

 

定理

任意の第32回 関数項級数の一様収束_htm_m186f7090.gif[a, b] 上で連続かつ第32回 関数項級数の一様収束_htm_6734399.gif[a,b]上で一様収束するならば、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m1924e1b5.gif

である。

 

 

このことは、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m3082d68d.gif

と置き換えればいいんだケロ。

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m53d0caf9.gif

だろ。

そして、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_5eabe89f.gif

と⑨は

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m7574bc1c.gif

になるだろうってわけ。



たとえば、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_3f401e62.gif

これは一様収束し、しかも第32回 関数項級数の一様収束_htm_33b4bcfe.gifは連続だから、gは連続で、しかも⑨を使うと、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m7657d27a.gif

となるんだケロ。

で、gは微分可能だし、gが連続であることから第32回 関数項級数の一様収束_htm_219ee9c2.gifも微分可能で、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_7d1b88d9.gif

となる。

これは何かといえば、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m5505b26.gif

のこと。

ということで、指数関数第32回 関数項級数の一様収束_htm_6e0072ae.gif

第32回 関数項級数の一様収束_htm_355e5522.gif

と定義していい事になるにゃ。

そして、x = 1 として上の式に代入すると、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_3bc6958e.gif

さらに、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_705265d9.gif

だから、

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m27df0a4a.gif

ということもわかるケロ。



で、第30回の定理


定理

[a, b] 上の第32回 関数項級数の一様収束_htm_3de2d9de.gif級の関数列第32回 関数項級数の一様収束_htm_me546e02.gifが関数gに各点で収束し、さらに第32回 関数項級数の一様収束_htm_m1cdeaa30.gif[a, b] 上で一様収束するならば

第32回 関数項級数の一様収束_htm_me08c028.gif

が成り立つ。

 

を関数項級数に対して言い換えれば、

 

定理

任意の第32回 関数項級数の一様収束_htm_6ea226ee.gif[a,b]上の第32回 関数項級数の一様収束_htm_3de2d9de.gif級で、任意の x ∈ [a,b] に対し級数第32回 関数項級数の一様収束_htm_m28de791b.gifが収束し、かつ第32回 関数項級数の一様収束_htm_6e2fbed1.gif[a,b]上で一様収束すれば

第32回 関数項級数の一様収束_htm_m22682ae8.gif

である。

 

となるケロ。

第32回 関数項級数の一様収束_htm_5eabe89f.gif

と置き換えれば、こうなることがわかると思うケロ。

 

まっ、そういうことだケロ。

 


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