第６回 距離の公理

第６回　距離の公理

距離ってなんだ？

その数学の答えの一つが距離の公理だケロ。

距離の公理
集合X上で定義された実数値関数

　d:X×X→R

が、任意のx,y,z∈Xに対して次の条件を満たしているとき、写像dをXの上の距離関数という。

　（１）　d(x,y)≧0

　（２）　x=y⇔d(x,y)=0

　（３）　d(x,y)=d(y,x)
　（４）　d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)

この（１）〜（４）を距離の公理というにゃ。

（１）は（２）、（３）、（４）から導けるので、いらないといえばいらないのだけれど、この４つを距離の公理というにゃ。

　　0=d(x,x)≦d(x,y)+d(y,x)=d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)

　　∴　d(x,y)≧0
となり、（１）は導けるにゃ。

だから、（２）〜（４）を距離の公理とする場合もある。

（２）は同一律、（３）は対象律、（４）は三角不等式を表しているとかなんとかいうにゃ。

ちなみに、このxやy、zは実数である必要はない。

もっと一般的なもので、n次元の空間の点としてもいいし、イヌやネコ、ウサギでもいい(^^ゞ

「おい、⑨ネコ。イヌ、ネコ、ウサギで距離が定義できるのか？」

「出来るにゃ！！」

集合X={dog,cat,rabbit}とすると、この直積X×Xは

　　X×X={<dog、dog>,<dog,cat>,<dog,rabbit>,

　　　　　<cat,dog>,<cat,cat>,<cat,rabbit>,
　　　　　<rabbit,dog>,<rabbit,cat>,<rabbit,rabbit>}

になる。で、

<x,y>∈X×Xに対して

　　x=yのとき、d(x,y)=0

　　x≠yのとき、d(x,y)=1

とすれば、距離の公理を満足している。

ちなみに、xとyは、それぞれ、イヌ、ネコ、ウサギだケロ。

こういう距離を離散距離といいますにゃ。

少し前に二次元平面の二点間の距離というものをやったにゃ。平面上の点を
　　

とするとき、この距離は

　　

となると言ったにゃ。

これはユークリッド距離というもので、あくまで数学の数ある距離の一つにすぎないんだにゃ。

２次元平面乗の２点間の距離を、たとえば　
　　

で定義してもいんだにゃ。

これも距離の公理を満たしている。

ユークリッド距離だけが（数学の）距離だと思っちゃ〜いけない、という話だにゃ。

ちなみに、<x,y>というのは順序対といわれるもの。

<a,b>=<c,d>が成立するのは、「a=cかつb=d」のとき。

だから、一般に、<x,y>≠<y,x>だケロ。

本によっては(x,y)と書いていたりもしているんだけれど、これだとxy平面上の点の座標と混同し、混乱するケロ。

この他にも、例えば、有界閉区間[a,b]で連続な関数f、gに対して、

　　

関数の距離を定義したりも出来るんだケロ。

これが距離の公理を満たすことは、

　　

だし、

　　

となるし、

　　

となるので、

　　

となって、

距離の公理を満たしているんだにゃ。
一様収束のところで出てきた有界閉区間で連続な関数のノルム
　　

も距離になるんだケロ。

もう、このあたりになると、微分積分を超えちゃっているから、今のところ、これ以上のことをやるつもりはないけれど・・・。

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