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第6回 距離の公理 [ネコ騙し数学]

第6回 距離の公理

距離ってなんだ?


その数学の答えの一つが距離の公理だケロ。


距離の公理
集合X上で定義された実数値関数

 d:X×X→R

が、任意のx,y,z∈Xに対して次の条件を満たしているとき、写像dXの上の距離関数という。

 (1) d(x,y)≧0

 (2) x=y⇔d(x,y)=0

 (3) d(x,y)=d(y,x)
 (4) d(x,z)≦d(x,y)+d(y,z)

この(1)〜(4)を距離の公理というにゃ。


(1)は(2)、(3)、(4)から導けるので、いらないといえばいらないのだけれど、この4つを距離の公理というにゃ。

  0=d(x,x)≦d(x,y)+d(y,x)=d(x,y)+d(x,y)=2d(x,y)

  ∴ d(x,y)≧0
となり、(1)は導けるにゃ。

だから、(2)〜(4)を距離の公理とする場合もある。

(2)は同一律、(3)は対象律、(4)は三角不等式を表しているとかなんとかいうにゃ。


ちなみに、このxyzは実数である必要はない。

もっと一般的なもので、n次元の空間の点としてもいいし、イヌやネコ、ウサギでもいい(^^


「おい、⑨ネコ。イヌ、ネコ、ウサギで距離が定義できるのか?」

「出来るにゃ!!」

集合X={dog,cat,rabbit}とすると、この直積X×X

  X×X={<dog、dog>,<dog,cat>,<dog,rabbit>,

     <cat,dog>,<cat,cat>,<cat,rabbit>,
     <rabbit,dog>,<rabbit,cat>,<rabbit,rabbit>}

になる。で、

<x,y>∈X×Xに対して

  x=yのとき、d(x,y)=0

  x≠yのとき、d(x,y)=1

とすれば、距離の公理を満足している。

ちなみに、xyは、それぞれ、イヌ、ネコ、ウサギだケロ。


こういう距離を離散距離といいますにゃ。



少し前に二次元平面の二点間の距離というものをやったにゃ。平面上の点を
  

とするとき、この距離は

  

となると言ったにゃ。

これはユークリッド距離というもので、あくまで数学の数ある距離の一つにすぎないんだにゃ。

2次元平面乗の2点間の距離を、たとえば 
  

で定義してもいんだにゃ。

これも距離の公理を満たしている。

ユークリッド距離だけが(数学の)距離だと思っちゃ〜いけない、という話だにゃ。


ちなみに、<x,y>というのは順序対といわれるもの。

<a,b>=<c,d>が成立するのは、「a=cかつb=d」のとき。

だから、一般に、<x,y>≠<y,x>だケロ。


本によっては(x,y)と書いていたりもしているんだけれど、これだとxy平面上の点の座標と混同し、混乱するケロ。




この他にも、例えば、有界閉区間[a,b]で連続な関数fgに対して、

  

関数の距離を定義したりも出来るんだケロ。

これが距離の公理を満たすことは、

  

だし、

  

となるし、

  

となるので、

  

となって、

距離の公理を満たしているんだにゃ。
一様収束のところで出てきた有界閉区間で連続な関数のノルム
  

も距離になるんだケロ。


もう、このあたりになると、微分積分を超えちゃっているから、今のところ、これ以上のことをやるつもりはないけれど・・・。


タグ:数学基礎
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