サイクロイドの問題を解く

問題　曲線（Cycloid・サイクロイド）

　　

に対して次の問いに答えよ。

（１）x軸と曲線で囲まれた部分の面積を求めよ。

（２）ｘ軸を中心にして曲線を回転させて作られる回転体の体積と側面積を求めよ。

（３）曲線の長さを求めよ。

を求めよ。

【解】
a=1の時のサイクロイドは次の通り。

（２）体積Vは

　　

ネムネコは、ここで、こう宣言しよう、

「｛｝の中の積分の計算で、sinやcosの出ているすべて無視していい！！」と。

何故ならば、

　　

だし、t=sinθとおくと

　　
となるからだにゃ。

だから、二重括弧｛｝の中で生き残るのは1と3/2だけで

　　

となり、

　　

だ・か・ら、上の積分の計算は、実は、ほとんど暗算でできる！！

試験の答案として出すときには、きちんと計算しなければならないけれど、

側面積Sは

　　

で与えられる。

　　

から、

　　

ここで、半角公式なるものを使う。

　　

0≦θ≦2πでsin(θ/2)≧0だから、
　　

となるので、

　　

そして、

　　

さらに、t=cosθとおき、

　　

となるので、

　　

よって、

　　

（３）曲線の長さLは

　　

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