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重積分の演習2 [ネコ騙し数学]

重積分の問題演習


数学の記事を何も書かないのはよくない。
ということで、つなぎ記事を上げることにした。


問題 次のことを示すケロ。
(1)f(x,y)[0,1]級であるならば、

   

(2)fが連続な偶関数ならば

  

【解】

(1)は、だから、極座標x=rcosθy=rsinθで積分してくださいと言っているようなもの。

で、極座標によって積分領域はから[0,1]×[0,2π]に変わるので、

  

となる。


(2)これは、x–y=ux+y=vとおくにゃ、そして、xとyについて解くと、

  

だから、[0,1]×[0,1]という領域は

  

となる。
この(u,v)の領域を図示すると次のようになる。

ryouiki.jpg


また、

  

だから、ヤコビアンJ

  

となる。

  

とすると、

  

よって、

  


(2)の変換も、数学のいろいろなところで出てくる変換なので、覚えておくと便利かもしれない。

ひとこと付け加えると、

こういう領域は必ず図示して考えるように。
面倒臭がってこの作業を怠ると、とんでもない計算をすることになるかもしれない。
「百聞は一見に如かず」です。


タグ:重積分
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