第１５回 ２次関数の演習１

第１５回　２次関数の演習１

２次関数の一般形は

　　

で、

　　

このことから、

　　

となる。

頂点が(p,q)である２次関数は

　　

で、これはy=ax²をx軸の正の向きにp、y軸の正の向きにq平行移動したもの。軸の方程式はx=pだケロ。

さらに、放物線がx=α、x=βでx軸と交わるとき、

　　

である。

では、問題演習。

問題１　（１）　放物線y=2x²をx軸の方向に−2、y軸の方向に1だけ平行移動してできるグラフの方程式を求めよ。

（２）　放物線y=2x²−5x+1を放物線y=2x²+5x+2に重ねるには、どのように移動させればよいか。

【解】

（１）　③にa=2、p=−2、q=1を代入すると

　　

（２）　②より、y=2x²−5x+1の頂点の位置は(5/4,−17/8)、y=2x²+5x+2の頂点の位置は(−5/4,−9/8)。

よって、x方向の移動量=−5/4−(5/4)=−5/2、y方向の移動量=−9/8−(−17/8)=1。

問題２　軸がy軸に平行で次の条件を満たす放物線をあらわす２次関数を求めよ。

（１）　３点(1,3)、(3,5)、(−1,9)を通るもの

（２）　頂点が(1,3)で、点(2,1)を通るもの

（３）　軸がx=−2で、２点(0,3)、(−1,0)を通るもの

（４）　x軸と(−1,0)、(2,0)で交わり、点(0,−3)を通るもの

（５）　２点(1,12)、(4,3)をとおり、x軸に接するもの

【解】

ただの計算問題なので、ヒントと答えだけ(^^ゞ

【ヒント】

（１）　y=f(x)=ax²+bx+cとすると、f(1)=3、f(3)=5、f(−1)=9となる。これからa、b、cについての連立方程式が得られる。これを解けばいい。

（２）　頂点が(1,3)なのだから、y=f(x)=a(x−1)²+3となり、これが点(2,1)を通るのだから、f(2)=1となり、aの値が求まる。

（３）　軸がx=−2なので、y=f(x)=a(x+2)²+qとなる。これが２点(0,3)、(−1,0)を通るものだから・・・。

あるいは、y=ax²+bx+cとして、

　　

この曲線が(0,3)を通るのでc=3となり、y=f(x)=ax²+bx+3となり、f(−1)=a−b+3=0・・・。

（４）　x軸とx=α、βで交わるのだからy=a(x−α)(x−β)となる。だから、y=a(x+1)(x−2)で、これが(0,−3)を通るのだから・・・。

（５）　x軸に接するのだから、その接点のx座標をpとすると、この放物線はy=a(x−p)²となる。あとは・・・

【答】

　　（１）　y=x²−3x+5　　（２）　y=−2x²+4x+1　　（３）　y=x²+4x+3

　　

問題３　２次関数y=ax²+bx+cのグラフが(−1,−5)を通る。また、x=2のとき最大で、最大値は４であるという。a、b、cの値を求めよ。

【解】

x=2のとき最大で、最大値が４であることより、

　　

である。

これが、(−1,−5)を通るので、

　　

②を使ってa、b、cを求めてもいいけれど、計算が大変だよ。

問題４　2x+y=1のとき、次の関数の最大値、または最小値を求めよ。

（１）　xy　　（２）　x²+y²

【解】

2x+y=1より、y=1−2xとなる。

（１）　xyにy=1−2xを代入する。

　　

よって、x=1/4のときxyの最小値は1/8。このときのyの値は

　　

ということで、x=1/4、y=1/2のときに最小で、最小値は1/8である。

（２）　x²+y²にy=1−2xを代入する。

　　

よって、x=2/5のときに最小で、最小値は1/5。

この時のyの値を求めると、y=1/5になる。

ということで、x=2/5、y=1/5のとき最小で、最小値は1/5。

（１）、（２）とも最大値はないにゃ。

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