第１８回 分数関数

第１８回　分数関数

分数関数の一般形は

　　

だケロ。

なのだけれど、①のままでは分かりづらいので、

　　

と変形するにゃ。

②式は

　　

になるので、

　　

とすると、②は、中学校で習う反比例の関数をx方向にp、y方向にq平行移動したものであることが分かるにゃ。③は

　　

になっているからだにゃ。

ちなみに、②の漸近線はy=qとx=q。

グラフは次のようになる。

こういうのは、抽象的な話をするよりも、具体的な関数を例に取ったほうがわかりやすいにゃ。
というこで、早速、問題を解いてみるケロ。

問題１　次の関数のグラフをかけ。

　　

【解】

（１）　問題の関数を②の形に変形するにゃ。

　　

よって、この関数は

　　

をx方向に3、y方向に2平行移動したもの。

グラフは

（２）　x+2=0でないから、(x+2)(y+1)=1の両辺をx+2で割るケロ。

　　

といことで、このグラフは、y=1/xをx軸方向に−2、y軸方向に−1、つ・ま・り、y=1/xを左に2、下に1だけ平行移動したもの。

だから、グラフは次のようになる。

では、次の問題。

問題２　関数

　　

について、

（１）　x>0のとき、関数①の最小値を求めよ。

（２）　①、②のグラフをかけ。

（３）　①からx²−yx+1=0・・・①’が得られるが、①’が実数の解をもつ必要十分条件を求めよ。

【解】

（１）　相加平均≧相乗平均より、x>0のとき、

　　

よって、x=1のとき最小（注）で、最小値は２だケロ。

（２）

このグラフから明らかなように、漸近線はx=0とy=xだにゃ。

（３）　実数解をもつというのだから、判別式≧０だケロ。ということで、

　　

まっ、そういうことだにゃ。

（注）

　　

だけど、x>0という条件があるので、x=1になる。

（３）で使っている手法は、微分を知らない人たち（文系の人）が分数関数の最大値、最小値などを求める時によく使う手法。

たとえば、

　　

という関数があるとき、

　　

として、xは実数でないといけないから、この２次方程式の判別式をDとして

　　

だから、yの最小値はx=−1の時で−1/2で、yの最大値はx=1の時で1/2。

何で、y=−1/2のときx=−1になるかは分かるよね。

「何故だろう」と、悩むといけないので、

　　

から出てくるにゃ。

これから

　　

y=1/2の時も同様に求めればいいにゃ。

最後に、相加平均≧相乗平均は

　　

タグ：中学数学

第１８回　分数関数

分数関数の一般形は

　　

だケロ。

なのだけれど、①のままでは分かりづらいので、

　　

と変形するにゃ。

②式は

　　

になるので、

　　

とすると、②は、中学校で習う反比例の関数をx方向にp、y方向にq平行移動したものであることが分かるにゃ。③は

　　

になっているからだにゃ。

ちなみに、②の漸近線はy=qとx=q。

グラフは次のようになる。

こういうのは、抽象的な話をするよりも、具体的な関数を例に取ったほうがわかりやすいにゃ。
というこで、早速、問題を解いてみるケロ。

問題１　次の関数のグラフをかけ。

　　

【解】

（１）　問題の関数を②の形に変形するにゃ。

　　

よって、この関数は

　　

をx方向に3、y方向に2平行移動したもの。

グラフは

（２）　x+2=0でないから、(x+2)(y+1)=1の両辺をx+2で割るケロ。

　　

といことで、このグラフは、y=1/xをx軸方向に−2、y軸方向に−1、つ・ま・り、y=1/xを左に2、下に1だけ平行移動したもの。

だから、グラフは次のようになる。

では、次の問題。

問題２　関数

　　

について、

（１）　x>0のとき、関数①の最小値を求めよ。

（２）　①、②のグラフをかけ。

（３）　①からx²−yx+1=0・・・①’が得られるが、①’が実数の解をもつ必要十分条件を求めよ。

【解】

（１）　相加平均≧相乗平均より、x>0のとき、

　　

よって、x=1のとき最小（注）で、最小値は２だケロ。

（２）

このグラフから明らかなように、漸近線はx=0とy=xだにゃ。

（３）　実数解をもつというのだから、判別式≧０だケロ。ということで、

　　

まっ、そういうことだにゃ。

（注）

　　

だけど、x>0という条件があるので、x=1になる。

（３）で使っている手法は、微分を知らない人たち（文系の人）が分数関数の最大値、最小値などを求める時によく使う手法。

たとえば、

　　

という関数があるとき、

　　

として、xは実数でないといけないから、この２次方程式の判別式をDとして

　　

だから、yの最小値はx=−1の時で−1/2で、yの最大値はx=1の時で1/2。

何で、y=−1/2のときx=−1になるかは分かるよね。

「何故だろう」と、悩むといけないので、

　　

から出てくるにゃ。

これから

　　

y=1/2の時も同様に求めればいいにゃ。

最後に、相加平均≧相乗平均は