第１５回 問題演習３

第１５回　問題演習３

問題１　

三角形の３つの高さが６、４、３であるとき、

（１）　最小角の余弦を求めよ。

（２）　３辺の長さを求めよ。

【解】

（１）　三角形の面積をSとすると

 　　

よって、最小角は、余弦定理より

　　

（２）

　　

（１）の結果よりS=6k。

よって

　　

したがって、

　　

問題２　

△ABCの辺AB、AC上にそれぞれ点P、Qをとり、線分PQをひいて△ABCの面積を２等分する。このような線分PQの長さの最小値を、辺ABの長さをc、辺ACの長さb、∠Aの大きさをαを用いてあらわせ。ただし、b/2≦c≦2bとする。

【解】

x=AP、y=AQとする。

条件より、

　　

余弦定理より

　　

相加平均≧相乗平均より

　　

①より、等号が成立するとき

　　

だからと言って、こんなxとyが存在するとは限らないにゃ。b、cの値によって、xはcより大きく、yはbより大きくなったりするからだにゃ。

PはAP上に存在しなければならないので、x≦c

　　

同様に、y≦bなので

　　

ここから、b/2≦c≦2bという条件が出てくるというわけ。

よって

　　

したがって、

　　

のとき、PQは最小で最小値は

　　

（解、終わり）

b=3、c=1のとき

　　

となって、PはABの延長線上にあることになってしまう(^^)

じゃ〜、このとき、PQに最小値は存在するのか。

∠A=α=90°とすると、

　　

そして、

　　

よって、

　　

だから、

　　

微分してもいいけれど、グラフを書くと、次のようになるにゃ。

よって、x=1、y=2/3の時に最小ということになる。

このとき、PはB、QはACの中点になる。

だから、PQにはの最小値は存在する。

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