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第16回 問題演習4 [ネコ騙し数学]

第16回 問題演習4


問題1 

ABCにおいて、∠A=60°AB=3DC=10とする。BC2:3に内分する点DADの延長が△ABCの外接円と交わる点をEとするとき、次の長さを求めよ。

(1) AE (2)CE

【解】

mondai-08-01.jpg

薄い藤色の2つの△ABDと△CEDは相似。

何故ならば、円周角の定理より

  ∠EAB=∠ECB

  ∠ABC=∠AEC

となり、

  △ABD∽△CED


ADは余弦定理より

  sankaku-16-01.png
ABD∽CEDなので
  sankaku-16-04.png

よって、

  


(2)

  

(解答、終わり)

①より、円に内接する四角形に関して、

  

という関係が成立することがわかる。

この問題にはないけれど、 ACは余弦定理を使って

  

そして、正弦定理より、△ABCの外接円の半径R

  



問題2 円に内接する四角形において、AB=aBC=bCD=cDA=dであるとき、cosBの値を求めよ。


sankaku-16-02.png

【解】
四角形ABCDは円に内接するので、∠Bと∠Dの和は180°である。よって、

  

になる。

よって、

  


§ 転換法


三角関数の次に、ねこ騙し数学で取り上げる初等幾何との関係もあり、転換法と呼ばれる証明法について少し説明することにする。


転換法

一連の真である命題p₁⇒q₁p₂⇒q₂p₃⇒q₃、…があって

  【1】 p₁p₂p₃、…は、すべての場合を尽くしている

  【2】 q₁q₂q₃、…は、どの2つも両立することがない

このとき、q₁⇒p₁q₂⇒p₂q₃⇒p₃、…は、すべて真である。


もっとも簡単なp₁⇒q₁p₂⇒q₂の場合を証明する。

【証明】

p₁⇒q₁p₂⇒q₂で、かつ、【Ⅰ】、【Ⅱ】を満たしているとする命題があるとする。

いま、仮に、q₁であってp₁のものがある、つまり、q₁かつp₂のものがあるとする。

p₂⇒q₂は真なので、q₁かつq₂である。

しかし、q₁q₂は両立しないから矛盾。

よって、q₁⇒p₁である。

同様に、q₂⇒p₂である。

(証明終わり)


これでは何を書いているかわからないと思うので、2次方程式の解の判別を例にとって説明するにゃ。


例 次のような実係数(abcは実数)の2次方程式があるとする。
  

この解は

  

になる。

  

とすれば、2次方程式の解は次のように書ける。

  

そして、

  (1) D>0⇒相異なる2実根

  (2) D=0⇒唯一の実根、実数解(重根)

  (3) D<0⇒相異なる虚根

(1)〜(3)はすべて真。

さらに、

Dは実数だから、D>0D=0D<0のいずれかで、これ以外の値はとりえない。つまり、すべての場合を尽くしており、【1】を満たしている。(1)〜(3)の結論も互いに両立せず、【2】も満たしている。

故に、転換法によって、

(1)〜(3)の逆、

  (1’) 相異なる2実根⇒D>0

  (2’) 唯一の実根、実数解(重根)⇒D=0

  (3’) 相異なる虚根⇒D<0

が成立し、

  【Ⅰ】 D>0⇔相異なる2実根

  【Ⅱ】 D=0⇔唯一の実根、実数解(重根)

  【Ⅲ】 D<0⇔相異なる虚根

である。

こういうことです。


では、これを真似て次の問題を。


問題3

ABCにおいて、次のⅠ、Ⅱ、Ⅲが成り立つ。これらの逆も成り立つことを証明せよ。

  Ⅰ ∠Cが鋭角⇒a²+b²>c²

  Ⅱ ∠Cが直角⇒a²+b²=c²

  Ⅲ ∠Cが鈍角⇒a²+b²<c²

【証明】

ABCにおいて、余弦定理

  

が成り立つ。

Cは鋭角(C<90°)か、直角(C=90°)、鈍角(C>90°)のいずれかのひとつだけ。だから、この3つの場合ですべて尽くされている。

そして、C<90°ならば、cosC>0なので

  

C=90°のとき、cosC=0なので

  

C>90°のとき、cosC<0なので

  

よって、Ⅰ〜Ⅲは真。

そして、Ⅰ〜Ⅲにおいて、その仮定はすべてを尽くしており、その結論はどの2つも両立することがない。

よって、転換法によって、Ⅰ〜Ⅲの逆もすべて成立する。

(証明終わり)


上の議論から、

  Ⅰ ∠Cが鋭角⇔a²+b²>c²

  Ⅱ ∠Cが直角⇔a²+b²=c²

  Ⅲ ∠Cが鈍角⇔a²+b²<c²

であることがわかる。


問題4 3数、xx+1x+2が鈍角三角形の3辺の長さをあらわす数値であるための範囲を求めよ。

【解】

三角形の3辺には、三角不等式、他の2辺の長さの和>1辺の長さの和が成り立たなければならない。

よって、

  

また、この三角形は鈍角三角形なので、最大辺x+2と他の2辺xx+1において、次の関係が成り立たなければならない。

  sankaku-16-03.png

よって、1<x<3





タグ:三角関数
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