第９回 相似

第９回　相似

§１　相似

一つの図形を形を変えずに一定の割合で拡大、縮小した時に、その図形はもとの図形と相似であるという。

相似な図形では、

（１）　対応する辺の長さの比は全て等しい

（２）　対応する角の大きさはそれぞれ等しい

図に示してある△ABCと△DEFは、

　　

であり、かつ、

　　∠A=∠D、∠B=∠E、∠C=∠F

だから△ABCと△DEFは相似であり、△ABC∽△DEFであらわす。

§２　相似の中心

相似な図形の対応する点どうしを結ぶ直線がすべて1点Oで交わり、その点から対応する点までの距離の比がすべて等しいとき、その点Oを相似の中心とよび、それらの図形は相似の位置にあるという。

相似の位置にある図形は相似である。

§３　三角形の相似条件

定理　２つの三角形は、次の条件のどれか一つが成り立てば相似である。

１　３組の比がすべて等しい

２　２組の辺の比とその辺の間の比が等しい

３　２組の角の比が等しい

２だけ証明（？）するにゃ。

　　

の条件を満たす△ABCと△DEFがあるとする。

で、

　　

となるよう、AB、ACの延長線（または、AB、AC）上にB'、C'をとって、△AB'C'を作る。

そうすると、三角形の合同条件から

　　△AB'C'≡△DEF

よって、

　　△ABC∽△DEF

ちなみに、k>1のとき拡大であり、k<1のとき縮小。

こういった話でございます。

§４　問題

問題１　下図において、∠ACD=∠B、AC=8、CD=9、BC=12である。

（１）　△ACDと△ABCは相似である。その相似比を求めよ。

（２）　線分ADの長さを求めよ。

（３）　線分ABの長さを求めよ。

【解】

（１）　∠Aは共通。そして、∠ACD=∠Bなので、

　　△ACD∽△ABC

相似比は

　　

（２）　分数のほうが好きなので・・・

　　

（３）

　　

 

問題２　次の図で、∠A=∠R、AD⊥BC、BEは∠Bの二等分線である。△ABEと△ABFと相似な三角形を見つけよ。



【答え】

　　△ABE∽△DBF、△ABF∽△CBE

 

問題３　ACの長さを求めよ。

【解】

△ABCと△DBAに注目。

∠Bは共通。

　　

よって、２組の辺の比とその辺の間の比が等しいので

△ABC∽△DBA

相似比は３：２なので

　　

タグ：初等幾何