番外編 相似と無限級数の応用問題

番外編　相似と無限級数の応用問題

いきなり、問題！！

問題　図のように、∠C=90°、BC=2、CA=1の直角三角形に内接する正方形の辺の長さaを求めよ。

【解】

∠Bは共通。また、∠BC₁A₁=90°

△ABC∽△A₁BC₁

よって、
　　

（解答終わり）

このことから、△ABCと△A₁BC₁の相似比が3:2であることがわかるにゃ。

これでオシマイじゃ〜ない。

本題は、これからだにゃ。

本題　図のように、∠C=90°、BC=2、CA=1の直角三角形内に正方形S₁、S₂、S₃、・・・が際限なく並んでいる。

このとき、

　　

の値を求めよ。

【解】

問題から正方形S₁と正方形S₂の相似比が2/3であることがわかる。

だから、相似な図形の面積比は相似比の２乗だから

　　

である。

同様に、

　　

つまり、S₁、S₂、S₃、・・・という数列は初項S₁で公比4/9<1の等比級数。

よって、

　　

（解答終わり）

初項a、公比rの数列の一般項は

　　

で、

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