第１０回 平行線と線分の比

第１０回　平行線と線分の比

§１　相似な三角形と線分の比

定理

三角形ABCにおいて、辺BCに平行な直線、AB、ACまたはそれらの延長と交わる点をD、Eとすると、

 　　

である。

定理

またはならばである。

DEとBCが平行なので、∠ADE=∠B、∠DEA=∠Cとなり、△ABC∽△ADE。

よって、

　　

となる。

したがって、

　　

逆については、∠Aを共通（または対頂角）にしていて、この角を挟む線分の比が等しいので、△ABC∽△ADEとなり、このことから、∠ADE=∠B、∠DEA=∠C、つまり、同位角が等しいので、DEとBCは平行である。

あるいは、Dを通り、ACに平行な直線とBCの交点をFとする。
そうすると、△ADE∽△DBFになるので、

　　

となり、DF=ECなので、

　　

となる。

補助線一本で解決する。このあたりが初等幾何の醍醐味だにゃ。

問題１

下の図でAC、BD、EFはそれぞれ平行である。x、y、zの値を求めよ。

【答】

x=2,y=4.5, z=1.4

 

問題２

下の図で

　　

である。

QPの値を求めよ。

【解】

有名問題のようで、高校入試によく出るらしい。

△APB∽△PDC

　　

よって、

　　

だから、

　　

この問題については、次回でもう一度取り上げ、詳しい話をするにゃ。

問題３　ADは∠BACの二等分線である。

　　

であることを示せ。

【証明】

DAとCEは平行なので、

　　∠CAD=∠ACE　（錯角）

　　∠CAB=∠CEA　（同位角）

よって、△ACEは二等辺三角形で、

　　AC=AE

したがって、

　　

【別解】

θ=∠BAC/2とする。

　　

また、△ABDと△ADCは高さが同じ。

よって、

　　

よって、

　　

§２
平行線と比例

定理　ならば

　　

証明は補助線一本。

　　

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