第29回 円周角の定理の逆 [ネコ騙し数学]
円周角の定理の逆を取り上げる前に、復習として、円周角の定理。
円周角の定理
1つの弧に対する円周角は、その弧に対する円周角の半分に等しい。そして、円周角と孤に関する次の定理。
定理
同じ円、または、半径の等しい円において(1) 等しい弧に対する円周角は等しい
(2) 等しい円周角に対する弧は等しいでは、今回の本題である円周角の定理の逆を紹介します。
円周角の定理の逆
2点P、Qが直線A、Bに関して同じ側にあるとき、∠APB=∠AQB
ならば、4点A、B、P、Qは同じ円周上にある。この定理を証明する前に、まず、次のことを証明します。
補題
円周上に3点、A、B、Cがあり、直線ABに関してCと同じ側にPをとるとき(ⅰ) 点Pが円周上にあるとき ∠APB=∠ACB
(ⅱ) 点Pが円の内部にあるとき ∠APB>∠ACB(ⅲ) 点Pが円の外部にあるとき ∠APB<∠ACP
である。【証明】
(ⅰ) Pが円周上にあるとき、円周角の定理より∠APB=∠ACB
(ⅱ) Pが円の内部にあるとする。APの延長と円の交点をQとする。
∠APBは△PBQにおける∠BPQの外角なので
∠APB=∠AQB+∠PBQ>∠AQBまた、円周角の定理より
∠AQB=∠ACBよって、
∠APB>∠ACBである。
(ⅲ) Pが円の外側にあるとする。APと円の交点をQとする。
∠AQB=∠APB+∠PBQ>∠APB
また、円周角の定理より∠AQB=∠ACB
よって、∠APB<∠AQB
(証明終わり)
定理 (円周角の定理の逆)
2点P、Qが直線A、Bに関して同じ側にあるとき、∠APB=∠AQB
ならば、4点A、B、P、Qは同じ円周上にある。【証明】
(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の条件はすべてを尽くしており、また、(ⅰ)、(ⅱ)、(ⅲ)の結論はそれぞれ両立しない。よって、転換法によって、この命題は真である。
(証明終わり)
直線ABに関して点C、Dは同じ側にあり、
∠ACB=∠ADB=50°
だから、円周角の定理の逆によって、点A、B、C、Dは同一円周上にあり、四角形ABCDはこの円に内接する。直線ABに関してC、Dは同じ側にあるけれど、
∠ACB≠∠ABD
だから、点A、B、C、Dは同一円周上にない。
問題
図のように、△ABCの辺ABを1辺とする正三角形ADB、辺ACを1辺にする正三角形ACEがある。(1) △ABE≡△ADCであることを示せ。
(2) 4点A、D、B、Pが同一円周上にあることを示せ。【証明】
(1)△ADBは正三角形なのでAB=AD
△ACEは正三角形なのでAE=AC
また、
2辺挟角相等より
(2) 点A、Pを直線で結ぶ。
△ABE≡△ADCより、
∠ADP=∠ABP
また、点D、Pは直線APに関して同じ側にある。よって、円周角の定理の逆より
4点A、D、B、Pが同一円周上にある(証明終わり)
タグ:初等幾何
2016-06-23 12:00
nice!(0)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0