第３１回 接弦定理

第３１回　接弦定理

接弦定理

円の接線と接点を通る弦のなす角は、この角内にあるこの弧の作る角は、この角内にある弧に対する円周角に等しい。

　　∠BAT=∠APB

∠BATが鋭角、直角、鈍角の３つの場合に場合分けして、証明を行う。

【証明】

（１）　∠BAT<90°

AOの延長とAと異なる円との交点をCとする。
同じ弧の円周角なので、円周角の定理より

　　∠APB=∠ACB　　①

直径ACを弦にする円周角なので

　　∠ABC＝90°

△ABCに注目。

三角形の内角の和は１８０°なので

　　∠ACB+∠BAC=90°

①より

　　∠APB+∠BAC=90°　　②

また、直線ATは円の接線なので

　　∠CAT=∠BAT+∠BAC=90°　　③
②と③より

　　

（２）　∠TAB=90°の場合

半円が作る円周角∠APB=90°なので

　　∠TAB=∠APB

（３）　∠TAB>90°の場合

Aに関してTと反対側の接線上に点T'をとる。さらに、ABに関してPと反対側の円周上に点Qをとる。

このとき、∠T'AB<90°なので弧APBに対する鋭角の接弦定理（１）が使え、

　　

また、四角形APBQは円に内接するので

　　

よって、①より

　　

直線TT'の角度は１８０°だから

　　

②と③より

　　

（１）、（２）、（３）より、
　　
であることが証明された。

（証明終了）

 

定理（接弦定理の逆）

円Oの弧ABと半直線ATが直線ABの同じ側にあって、弧ABに対する円周角∠ACBと∠ATが等しいとき、直線ATは円OのAにおける接線である。

【証明】

点Aにおける円Oの接線を引き、直線ABに関して弧ABと同じ側にある接線上の点をT’とする。

接弦定理より

　　

仮定より、

　　

よって、

　　

また、TとT’は直線ABに関して同じ側にあるので、直線ATと直線AT'は一致する。

（証明終わり）

問題１

AB、CDは接点Pを通る直線である。このとき、

　　

であることを証明せよ。

【証明】共通接線をTPT'とする。

接弦定理より

　　

対頂角相等より

　　

よって、

　　∠CAP=∠DBP

錯角相等より

　　

（証明終わり）

問題にはないけれど、このことから△ACP∽△BDPであることがわかる。

問題２　x°=∠PABを求めよ。

【解】

接弦定理より

　　∠PAB=∠C=x°

△APBの内角と外角の関係より

　　∠ABC=∠APB+∠PAB=26°+x°

直径BCに対する円周角だから∠BAC=90°

△ABCの内角の和は180°だから

　　

【別解】

PAは接線なので∠OAP=90°

△APOの内角の和は180°だから

　　

また、接弦定理より

　　∠C=x°

中心角の定理より

　　∠AOP=2x°

よって、

　　

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