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第32回 方べきの定理 [ネコ騙し数学]

第32回 方べきの定理


定理 (方べきの定理Ⅰ

円の2つの弦ABCDまたはその延長の交点をPとすると
  
shotou-32-01.pngshotou-32-02.jpg


【証明】

対頂角相等より

  ∠APD=∠BDC

同じ弧ACの円周角なので、円周角の定理より

  ∠ADC=∠CBP

よって

  △ADP∽△BCP

したがって

  

(証明終わり)

定理 (方べきの定理Ⅱ

Oの外部の点Pから円Oに引いた接線をTとする。Pを通り円Oに2点ABと交わる直線を引くと
  
shotou-32-03.png


【証明】

接弦定理より

  ∠ATP=∠B

また∠Pは共通なので

   △BPT∽△TPA

よって

  

(証明終わり)

定理BCDが接点に限りなく近づけば

  

になると考えることもできる。

方べきの定理は、逆も成り立つ。


定理 (方べきの定理Ⅰの逆)

2つの線分ABCDまたはそれらの延長が点Pで交わるとき、

  

であるならば、4点ABCDは同一円周上にある。
shotou-32-01.png shotou-32-02.jpg
(証明)

また、対頂角相等

  ∠APD=∠CPB

よって

  △APD∽CPB

故に

  ∠ADP=∠CBP

ACに対する円周角が等しく、点Bと点Dは弦ABに関して同じ側にあるので、円周角の定理の逆により、

4点ABCDは同一円周上にある。

(証明終わり)

 

定理 (方べきの定理Ⅱの逆)

1直線上にない3点ABTおよび線分ABの延長上に点Pがあって

  

ならば、PTABTを通る円に接する。
shotou-32-03.png

【証明】仮定より

  

Pは共通。

2辺の比と2辺が挟む角が等しく

  △BPT∽△TPA

したがって

  ∠ATP=∠ABT

接弦定理の逆より、

PTABTを通る円の接線であり、PTABTを通る円に接する。

(証明終わり)


問題1 次の図のxyの大きさを求めよ。

(1)
shotou-32-04.png
(2)
shotou-32-05.png

【解】

(1) 方べきの定理Ⅰより

  



(2) 方べきの定理1より

  

x>0なので、x=10

方べきの定理Ⅱより

  

よって、x=10y=2√10が答え。

 


問題2

2点 ABで交わる2円があり、線分BAの延長上に点Pがある。Pを通る直線が一方の円と2点で交わり、P

を通る別の直線が他方の円と2点で交わるとき、これら4点が同一円周上にあることを証明せよ。

【証明】

Pから円O₁O₂に直線を引き、その交点を図のようにCDEFとする。

shotou-32-06.png

方べきの定理Ⅰより

  

よって、方べきの定理の逆より4点CDEFは同一円周上に存在する。

(証明終わり)


嘘じゃない。これはちゃんと通るにゃ。

shotou-32-07.png


タグ:初等幾何
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