第３４回 問題演習

第３４回　問題演習

円周角の定理や方べきの定理を使って解く問題の追加。

問題１

△ABCの頂点Aより辺BCにおろした垂線をAH、外心をO、AOと△ABCの外接円の交点をDとするとき、次のことを証明せよ。

（１）　∠BAD=∠CAH

（２）　AB・AC=AD・AH

【解】

（１）　△ABDと△AHCにおいて、

問題の条件より

　　∠AHC=∠R

ABは直径なので

　　∠ABD=∠R

同じ弧ABの円周角なので

　　∠ADB=ACB=∠ACH

よって、

　　∠BAD=∠CAH

（２）　（１）より△ABD∽△AHC

　　

問題２　（ブラマーグプタの定理）

円に内接する四角形ABCDの対角線が直交するとき、その交点をEとすれば

（１）　Eから辺CDへおろした垂線は、対辺の中点を通る。

（２）　逆に、Eを辺ABの中点を結ぶ直線は、対辺CDに垂直である。

【証明】（１）　△CEDと△EHDに注目。∠CEDは共通、また

　　∠CED=∠EHD=∠R

なので、

　　∠DHE=∠ACD

また、対頂角相等より

　　∠MEB=∠DHE=∠ACD

同じ弧ADの円周角なので

　　∠ABD=∠ACD=∠MEB

よって、

　　MB=ME

△ABEは∠AEB=∠Rの直角三角形なので

　　AM=MB=ME

よって、EHはABの中点Mを通る。

（２）　ABの中点をMとし、MEの延長とCDの交点をHとする。

Mは直角三角形ABEの中点なので、

　　AM=MB=ME

よって、

　　∠ABE=∠BEM

対頂角相等より

　　∠DEH=∠BEM=∠ABE=∠ABD

同じ弧ADの円周角なので

　　∠ECD=∠ACD=∠ABD=∠DEH

∠EDCは共通なので△DEH∽△DCE

よって、

　　∠DHE=∠DBC=∠R

したがって、EM⊥CDである。

（証明終わり）

ちなみに、円に内接する四角形ABCDの各辺の長さをAB=a、BC=b、CD=c、DA=d、さらに

　　

とするとき、円に内接する四角形ABCDの面積Sは

　　

に等しい。

この公式をブラマーグプタの公式という。

問題３　上記のブラマーグプタの公式を証明せよ。

【証明】

　　

よって、四角形ABCDの面積Sは
　　
余弦定理より

　　

ここで技を使って

　

ここで辺々を掛け合わせる。
　　

①と②より

　　
（証明終わり）

ブラマーグプタの公式が使えるのは、円に内接する四角形の場合だけ。一般の四角形には使えないので、注意が必要。

 

問題４

△ABCの∠Aの２等分線と外接円が交わる点をEとする。BC=a、CA=b、AB=cとし、AEの長さを求めよ。

【解】

ADの延長と円の交点をEとする。

ADは∠Aの二等分線なので、点DはBCを

　　

に内分する。

よって、

　　

△ABDと△AECに注目。

同じ弧ACの円周角なので

　　∠ABD=∠ABC=∠AEC

また

　　∠BAD=∠EAC

よって、△ABD∽△AEC

　　

方べきの定理より

　　

AB=c、AC=b、①、③、④から

　　

②より

　　

（解答終わり）

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