第39回 軌跡のイントロ [ネコ騙し数学]
第39回 軌跡のイントロ
軌跡とは、ある条件を満たす点の集まり、点の集合のこと。
では、問題。
問題1 座標平面上2定点A₁(−a,0)、A₂(a,0)がある。この平面上において
をみたす点Pの全体が作る図形の方程式を求めよ。ただし、a>0である。
【解】
点Pの座標を(x,y)とすると
よって、
したがって、(5a/3,0)を中心とする半径4a/3の円である。
(解答終わり)
このようにして得られる円をアポロニウスの円という。
では、A₁P=A₂Pのときはどうなるか。
だから
で、x=0というのは、A₁(−a,0)とA₂(a,0)の垂直二等分線。
ということで、
を満たす点Pは、どうやら、
m≠nのとき アポロニウスの円
m=nのとき A₁(−a,0)とA₂(a,0)の垂直二等分線になりそうだ。
ということで、次の問題。
問題2 m、nが正の数で
のとき、次のことを示し、その図形的な意味を説明せよ。
m≠nのとき
m=nのとき
ただし、 はの内積をあらわす。
ベクトルの内積は、2つのベクトルのなす角度をθとすると
だにゃ。
【解】
m≠nのとき
とし、さらに
としとすると、点CとDは、それぞれ、線分ABをm:nに内分する点と外分する点をあらわしている。
そして、
は、点PがABのm:nの内分点Cと外分点Dを両端とする円周上に存在することを意味する。
m=nのとき
これは、点Pが線分ABの垂直2等分線上に存在することを意味する。
(解答終わり)
4点A、C、B、Dがこの順にならび同一線上にあるとする。このとき、
AC:CB=AD:DBが成り立つとき調和点列という。
そして、上の問題の証明からアポロニウスの円と調和点列は深い関係があり、
という関係があるのであった。
2016-07-07 12:05
nice!(0)
コメント(0)
トラックバック(0)
コメント 0