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平面図形と式 平面座標 [ネコ騙し数学]

平面図形と式 平面座標


平面座標を使って、重心、外心の問題を解くことにします。

その前に、平面座標の基本事項の復習。

1 2点間の距離

2点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)の距離AB

  


2 内分と外分

2点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに内分する点は

  

であり、中点は

  

2点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに外分する点は

  


3 重心

3点A(x₁,y₁)B(x₂,y₂)C(x₃,y₃)を頂点とする△ABCの重心の座標は

  


3の重心の座標の式⑤だけがあらたに出てきたので、これを導くことにする。


Heimen-zahyou-01.jpg

BCの中点をとすると、D

  

また重心の座標を

  

とすると、Gは中線AD2:1に内分するので、

  

となる。

では、問題を。


問題1 平面上に2点A(−2,1)B(3,2)がある。

(1) 線分AB2:3に内分する点、外分する点を求めよ。

(2) 点Bに関して、点Aと対称な点の座標を求めよ。

(3) 2定点AB等距離にある点をx軸上に求めよ。

【解】

(1) 内分する点C

  

2:3に外分する点D

  


ウォーミングアップを済ませたところで、本格的な問題を。


問題2 3点A(−5,5)B(−2,6)C(2,4)を頂点とする△ABCの重心Gと外心Dの座標を求めよ。

【解】
zahyou-03.png

重心Gの座標を(x,y)とすると

  

よって、重心は

  

外心Dの座標を(x,y)とする。

Dは外心なのでAD=BD=CD、よってAD²=BD²=CD²

  

これを解くと、x=−2y=1

よって、D=(−2,1)

(解答終わり)

座標を使うと、このようにして重心、外心を求めることができる。


問題3 3点A(4,1)B(6,−3)C(−3,0)が与えられている。

(1) ABCから等距離にある点Pの座標を求めよ。

(2) AQ²+BQ²が最小となるようなx軸上の点Qの座標を求めよ。

【解】

(1) 点Pの座標を(x,y)とする。

  

これを解くとx=1y=−3

よって、P(1,−3)


(2) Q(x,0)とする。

  

x=5のときAQ²+BQ²は最小となる。

よって、Q(5,0)

(解答終わり)

問題3の(1)の点Pは、△ABCの外心。

zahyou-04.png
タグ:初等幾何
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