平面図形と式 平面座標 [ネコ騙し数学]
平面図形と式 平面座標
平面座標を使って、重心、外心の問題を解くことにします。
その前に、平面座標の基本事項の復習。1 2点間の距離
2点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)の距離ABは
2 内分と外分
2点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに内分する点はであり、中点は
2点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)を結ぶ線分をm:nに外分する点は
3 重心
3点A(x₁,y₁)、B(x₂,y₂)、C(x₃,y₃)を頂点とする△ABCの重心の座標は
3の重心の座標の式⑤だけがあらたに出てきたので、これを導くことにする。
BCの中点をとすると、Dは
また重心の座標を
とすると、Gは中線ADは2:1に内分するので、
となる。
では、問題を。
問題1 平面上に2点A(−2,1)、B(3,2)がある。
(1) 線分ABを2:3に内分する点、外分する点を求めよ。(2) 点Bに関して、点Aと対称な点の座標を求めよ。
(3) 2定点A、B等距離にある点をx軸上に求めよ。【解】
(1) 内分する点Cは2:3に外分する点Dは
ウォーミングアップを済ませたところで、本格的な問題を。
問題2 3点A(−5,5)、B(−2,6)、C(2,4)を頂点とする△ABCの重心Gと外心Dの座標を求めよ。
【解】重心Gの座標を(x,y)とすると
よって、重心は
外心Dの座標を(x,y)とする。
Dは外心なのでAD=BD=CD、よってAD²=BD²=CD²。
これを解くと、x=−2、y=1。
よって、D=(−2,1)。
(解答終わり)座標を使うと、このようにして重心、外心を求めることができる。
問題3 3点A(4,1)、B(6,−3)、C(−3,0)が与えられている。
(1) A、B、Cから等距離にある点Pの座標を求めよ。(2) AQ²+BQ²が最小となるようなx軸上の点Qの座標を求めよ。
【解】(1) 点Pの座標を(x,y)とする。
これを解くとx=1、y=−3。
よって、P(1,−3)。
(2) Q(x,0)とする。
x=5のときAQ²+BQ²は最小となる。
よって、Q(5,0)。
(解答終わり)問題3の(1)の点Pは、△ABCの外心。
タグ:初等幾何
2016-07-19 12:14
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