ベクトル 図形への応用 [ネコ騙し数学]
ベクトル 図形への応用
本格的にベクトルの図形への応用をする前に、知識の確認。
1の||はABとCDが平行であることをあらわす記号。
さらに、
点Cが直線AB上にある必要十分な条件はとなるkが存在することである。
問題1 △ABCの外心をOとし、
となるHをとるとき、次のことを証明せよ。
(1) Hは△ABCの垂心である。(2) △ABCの外心、垂心、重心は1直線上にある。
【証明】(1) とする。
Oは△ABCの外心なので、である。同様に、BH⊥CA、CH⊥AB。
よって、Hは垂心である。
(2) 重心をGとすると
だから、
故に、O、G、Hは1直線上にある。
(証明終わり)
オイラー線
三角形において、外心をO、重心をG、垂心をHとすると、O、G、Hは一直線上にあり、を証明したことになる。
問題2 △ABCと同じ平面上に点Oがあり、
であるとき、Oはどんなん点か
【解答】
とすると、条件は
よって、
よって、CO⊥AB。
また、
よって、AO⊥BC。
同様に、BO⊥CA。
したがって、Oは垂心である。(解答終わり)
問題 3点A、B、Cの位置ベクトルが次の条件を満たしているとき、△ABCはどんな三角形か。
(1)
(2)
【解(?)】重心をGとすると
のときとなり、重心Gと原点Oは一致する。
(1)のはOA=OB=OC、つまり、Oと三角ABCの各頂点の距離は等しいので、Oは外心。外心Oと重心Gが一致するのだから、△ABCは正三角形。
(2)のは、問題2よりOが垂心であることを表しており、また垂心と重心が一致するのだから、△ABCは正三角形である。
(解答?終わり)しかし、こんな解答をしたら、学校の先生から怒られる。学校の先生から怒られるだけならばまだしも、大学受験で点数をもらえないかもしれない。
【解】
(1) より
よって、AB=AC。
同様に、BC=BA。
よって、△ABCは正三角形。(2)
で、よって、AB=AC。
同様に、BC=BA。よって、△ABCは正三角形。
(解答終わり)これはあくまで解答の一例で、他にもいくつか解答は考えられる。
たとえば、次のように考えるだろう。同様に
だからとなり、という条件が出てきて、(2)を(1)に書き換えることもできる。
(1)、(2)ともに、△ABCが正三角形であるための必要十分な条件なのだから、当たり前の話。
(1)はから
として、
同様に、∠COA=∠AOB=120°。
また、条件よりOA=OB=OC。2辺挟角相等より△OAB≡△OBC≡△OCA。
よって、AB=BC=CAで△ABCは正三角形。タグ:ベクトル
2016-07-22 12:00
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