SSブログ

ベクトル 図形への応用 [ネコ騙し数学]

ベクトル 図形への応用


本格的にベクトルの図形への応用をする前に、知識の確認。

  

1||ABCDが平行であることをあらわす記号。

さらに、

Cが直線AB上にある必要十分な条件はとなるkが存在することである。



問題1 △ABCの外心をOとし、

  

となるHをとるとき、次のことを証明せよ。

(1) Hは△ABCの垂心である。

(2) △ABCの外心、垂心、重心は1直線上にある。

【証明】

vec-ouyou01-01.png

(1) とする。

Oは△ABCの外心なので、

  

である。同様に、BH⊥CACH⊥AB
  vec-ouyou-eq-00.png
よって、Hは垂心である。

 

(2) 重心をGとすると

  

だから、

  

故に、OGHは1直線上にある。

(証明終わり)


オイラー線

三角形において、外心をO、重心をG、垂心をHとすると、OGHは一直線上にあり、

  

を証明したことになる。

 


問題2 △ABCと同じ平面上に点Oがあり、

  

であるとき、Oはどんなん点か

【解答】

とすると、条件は

  

よって、

  

よって、CO⊥AB

また、

  

よって、AO⊥BC

同様に、BO⊥CA

したがって、Oは垂心である。

(解答終わり)


問題 3点ABCの位置ベクトルが次の条件を満たしているとき、△ABCはどんな三角形か。

(1) 

(2) 

【解(?)】

重心をGとすると

  

のときとなり、重心Gと原点Oは一致する。


(1)のOA=OB=OC、つまり、Oと三角ABCの各頂点の距離は等しいので、Oは外心。外心Oと重心Gが一致するのだから、△ABCは正三角形。

(2)のは、問題2よりOが垂心であることを表しており、また垂心と重心が一致するのだから、△ABCは正三角形である。

(解答?終わり)

 

しかし、こんな解答をしたら、学校の先生から怒られる。学校の先生から怒られるだけならばまだしも、大学受験で点数をもらえないかもしれない。

【解】

(1) より  

  
よって、AB=AC

同様に、BC=BA

よって、△ABCは正三角形。

(2) 

で、
  

よって、AB=AC

同様に、BC=BA

よって、△ABCは正三角形。

(解答終わり)

これはあくまで解答の一例で、他にもいくつか解答は考えられる。

たとえば、次のように考えるだろう。

  

同様に

  

だからとなり、という条件が出てきて、(2)を(1)に書き換えることもできる。


(1)、(2)ともに、△ABCが正三角形であるための必要十分な条件なのだから、当たり前の話。


(1)はから

  

として、

  vec-ouyou-eq-03.png

同様に、∠COA=∠AOB=120°

また、条件よりOA=OB=OC

2辺挟角相等より△OAB≡△OBC≡△OCA

よって、AB=BC=CAで△ABCは正三角形。


タグ:ベクトル
nice!(0)  コメント(0)  トラックバック(0) 

nice! 0

コメント 0

コメントを書く

お名前:
URL:
コメント:
画像認証:
下の画像に表示されている文字を入力してください。

トラックバック 0

この広告は前回の更新から一定期間経過したブログに表示されています。更新すると自動で解除されます。