関数の連続 [ネコ騙し数学]
関数の連続
関数の連続について述べる前に、関数の極限についての補足説明をする。
§1 有限確定について
xが限りなくaに近づくとき、関数f(x)がある一つの実数bに限りなく近づくとき、このことをと表し、bを関数f(x)のaにおける極限、または、極限値という。
そして、このとき、は有限確定という。
また、またはであるときは、は確定であるという。
有限確定ではなく、確定である代表的な例は
がある。
+∞や−∞は、数、実数でないので、これを極限、極限値と考えていいのかどうかという問題はあるけれど・・・。
関数f(x)の極限が存在しない例代表的な例としては、
がある。
この場合、x=0における左側極限、右側極限は次のようになる。
この他に、
も、x=0における極限は存在しない。
たとえば、
だから、この近づき方では
になる。
しかし、
といったように、xの0への近づき方によって、値が変わってしまう。
一つの値に定まらないので、この場合もx=0における極限は存在しない。
なのだけれど、
のx=0における極限値は
である。
そして、だから、ハサミ打ちの定理より
である。
このあたりが極限の面白さであり、不思議なところであるように思う。
§2 関数の連続
関数の連続の定義
関数f(x)の定義域に属するx=aに対してであるとき、関数f(x)はx=aにおいて連続であるという。
また、この条件が満たされないとき、f(x)はx=aにおいて不連続であるという。
そして、関数f(x)が定義域に包まれる区間に属すすべての点で連続であるとき、f(x)はその区間で連続という。また、
のとき、f(x)はx=aにおいて右側連続であるといい、
であるとき、
f(x)はx=aにおいて左側連続であるという。
そして、f(x)がx=aで連続であるとき、である。
例1
この関数は、x=1で不連続である。
ちなみに、
例2
という関数があるとする。
この関数は初項x²、公比1/(1+x²)とする等比数列の無限級数で定義される。x=0のとき、
だから、この無限級数は
に収束する(※)。
したがって、
よって、x=0でこの関数は不連続。
この関数の場合、
つまり、x=0において右側極限=左側極限であるけれど、f(0)=0でないので不連続。
(※)
タグ:微分積分
2016-07-23 12:00
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