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ベクトル ベクトルの図形への応用2 [ネコ騙し数学]

ベクトル ベクトルの図形への応用2


問題1 決まった平行四辺形ABCDがある。任意の点Pに対して、

  

が一定であることを証明せよ。

【証明】
vec-ouyou2-01.png

  
とする。

四角形ABCDは平行四辺形だから

  

よって、

  

したがって、この値は、任意の点Pによらず、一定である。
(証明終わり)

この問題の結果を使うと、次の問題を簡単に解くことができる。


問題2 を満たすベクトルを位置ベクトルとする4点ABCDはどんな位置関係にあるか。

【解】

  

よって四角形ABCDは平行四辺形。

として問題1の結果に代入すると

  

よって、AB⊥AD

以上のことから、四角形ABCDは長方形。

(解答終わり)

そして、平行四辺形の面積を与える公式の証明。


問題3 平面上の2つのベクトルを隣り合った2辺とする平行四辺形の面積をSとするとき、

(1) であることを証明せよ。

(2) のとき、Sを求めよ。

vec-ouyou2-02.png

【解】

(1) 平行四辺形の面積Sは、∠AOB=θとすると

  

内積の定義から

  

よって

  


(2) (1)より

  

で、S≧0だから

  

(解答終わり)

問題2の(1)より

平面上の2つのベクトルを隣り合った2辺とする平行四辺形の面積をS

  

平面上の2つのベクトルを隣り合った2辺とする三角形の面積は

  



問題4 平面上で、3点A(1,1)B(2,3)C(4,−1)を頂点とする三角形の面積を求めよ。

【解】

  

(解答終わり)

 


タグ:ベクトル
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