ベクトル 演習問題 [ネコ騙し数学]
ベクトル 演習問題
問題1 △ABCと△PQRの間に、次の関係がある。
△ABCと△PQRの面積比を求めよ。
とする。
よって、点PはABを2:1に内分する点。
同様に、QはBCを、RはCAを2:1に内分する。
よって、
(解答終わり)
問題2 ベクトルがあって、の間に
の関係がある。
(1) の内積をkを用いて表せ。
(2) 内積の最小値、およびそのときののなす角θ(0≦θ≦180°)を求めよ。
【解】(1) だから、。
また、(2)
相加平均≧相乗平均より
よって、
したがって、内積の最小値は1/2。
(解答終わり)
問題3 円Oに内接する△ABCがある。動点Pが円O上を動くとき、
を満たす点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円であることを示せ。
とする。
△ABCの外接円の半径をRとすると、は△ABCの外接円の半径Rであり、点QはDを中心とする半径R/2の円周上の点である。
また、
より、点Aと点Pが一致するとき、つまり、
のとき
で、点Qは辺BCの中点と一致し、したがって、点QはBCの中点を通過する。
同様に、点Pが点Bに一致するときはCAの中点、点Cと一致するときはABの中点を通る。
以上のことより、点Qの軌跡は、△ABCの各辺の中点を通る円である。(解答終わり)
△ABCの重心をGとすると、
だから、
である。
タグ:ベクトル
2016-07-25 12:18
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