ベクトル 直線の方程式(平面の場合) [ネコ騙し数学]
ベクトル 直線の方程式(平面の場合)
§1 直線の方程式
点Pが直線l上にあるので、
となる実数tが存在する。
点Aと点Pの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
より
となる。
ここで、tはすべての実数値をとる変数、媒介変数である。
次に、直線l上に2点A、Bがあり、その位置ベクトルをとする。
直線lはに平行なので、
と考え、上式に代入すると
この結果をまとめると、次のようになる。
1. 点を通り、方向の直線の方程式
2。 2点を通る直線の方程式
s+t=1とすると、上の式は次のように書き換えることができる。
§2 問題
問題1 2点A(−2,3)、B(2,−4)を通る直線上の任意の点の座標を、媒介変数tを使ってあらわせ。
【解】
さらに、直線上の任意の点Pの位置ベクトルを
とする。
したがって、
(解答終わり)
を使って計算してもいいけれど、上のように解いたほうが、計算は楽でしょう。
問題2 平面上に異なる3点A、B、Cがある。s、tは、s≧0、t≧0であるような実数値をとる変数で
とする。
(1) s+t=1のとき、Pの軌跡を求めよ。
(2) s+t=k(kは正の定数)のとき、Pの軌跡を求めよ。(3) s+t≦1のとき、Pの存在範囲を求めよ。
【解】(1) s+t=1よりs=1−t。
また、s≧0とt≧0より、0≦t≦1。
t=0のときP=A、t=1のときP=B。また、点Pは線分AB上を動くので、点Pの軌跡は線分AB(両端を含む)である。
(2) l=sk、m=tkとおくと、l≧0、m≧0で
さらに、
とおくと、
(1)より、Pの軌跡は線分CDであり、よって、Pの軌跡は原点を中心にABをk倍した線分CDである。
(3) s+t=kとおくと0≦k≦1。
よって、点Pの存在範囲は、△OABの内部とその周である。(解答終わり)
問題3 1直線上にない3点A、B、Cがあって、とする。∠AOBの2等分線が直線ABと交わる点をPとするとき、次のことを示せ。
【解】
とする。
(1) Pは直線AB上にあるので
またPは∠AOBの2等分線上にあるので
よって
内積を計算すると
これを代入すると、
∠AOB≠0だから、
よって
s+t=1と連立して解くと、
(2)
よって、
である。
タグ:ベクトル
2016-07-27 12:00
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