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微分積分 除去可能な不連続 [ネコ騙し数学]

微分積分 除去可能な不連続



f(x)x=a以外で連続で、x=aにおいて定まった値を持たず不連続であるが、

  

が有限確定であるとする。

このとき、x=aにおけるf(x)の値をf(x)=bと定めると、f(x)は連続になる。


  

この関数は、x=20/0で定まった値を持たず不連続。

しかし、x=2におけるf(x)の値を

  

と定義し、

  

とすると、f(x)x=2で連続になる。

 


問題1

  

は、f(0)をどのように定めたら、連続になるか。

【解】

x≠0

  

よって、

  

また

  

ハサミ打ちの定理より

  

である。

したがって、f(0)=0に定めればよい。

(解答終わり)

ハサミ打ちの定理

f(x)≦g(x)≦h(x)かつ

ならば

である。

問題2

  

xのすべての値に対して連続であるようにabの値を定めよ。

【解】

|x|>1のとき

  

|x|<1のとき

  

x=1のとき

  

x=−1のとき

  

x=1で連続であるためには

  

x=−1で連続であるためには

  

でなければならない。

①と②よりa=0b=1である。

【解答終わり】

極限の計算で、

  

を使っている。

さらに、

  

を使っている。

タグ:微分積分
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