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ベクトル 直線の方程式2の続き [ネコ騙し数学]

ベクトル 直線の方程式2の続き


問題1 直線lの方程式をax+by+c=0とする。

(1) lはベクトルと平行であることを示せ。

(2) P(x,y)Q(x,y)からlにおろした垂線の足をそれぞれRSとするとき、RSの長さを求めよ。

vec-line2-04.png

【解】

(1) 直線lと垂直。

  

よって、と直線lは平行である。


(2) QからPRに垂線をおろし、垂線の足をHとし、QPQHのなす角度をθとする。

  

また

  

よって、

  

(解答終わり)

 


問題2 △ABCと点Oがある。

  

とするとき、次の問いに答えよ。

(1) AからBCに引いた垂線上の点をPとし、とすると、

  

となることを証明せよ。

(2) 上の(1)を使って、△ABCの3垂線が1点で交わることを証明せよ。

【解】

(1) AP⊥BCだから
  


(2) AからBCにおろした垂線とBからCAにおろした垂線の交点をPとする。

vec-line2-05.png

(1)より

  

①と②の辺々を足すと

  

よって、CP⊥ABとなり、△ABCの3垂線は1点で交わる。

(解答終わり)


問題3 △ABCにおいて、辺の長さをBC=aCA=bAB=cとする。

(1) △ABCの平面上の点Pが∠BACの2等分線(延長線も含む)の上にある条件は

  

であることを示せ。

(2) 3頂点の座標がA(1,3)B(−2,0)C(5,-1)のとき、∠BAC、∠ABCの2等分線の方程式を求めよ。また、△ABCの内心を求めよ。

【解】

(1) ∠BAP=∠CAPだから

  


(2) ∠BACの2等分線上の点Pの座標を(x,y)とする。

vec-line2-07.png

  

よって、

  vec-line2-siki01.png


ABCの2等分線上の点Pの座標を(x,y)とすると、(1)より

  

である。

  

よって、

  

内心はx=1x−3y+2=0の交点だから、内心は(1,1)である。

(解答終わり)

内心Pを求めるだけならば、

  vec-line02-siki02.png

という公式があるので、これを使ってもよい。

【公式の略証】

与式の両辺をを引く。

  vec-line2-siki03.png

よって、点Pは、Aと辺ACAB:ACに内分する点とを結ぶ直線、つまり、∠Aの2等分線上に存在する。

同様に、点Pは∠Bの2等分線上にあるので、点Pは△ABCの内心である。

(略称終わり)


タグ:ベクトル
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