ベクトル 直線の方程式2の続き [ネコ騙し数学]
ベクトル 直線の方程式2の続き
問題1 直線lの方程式をax+by+c=0とする。
(1) lはベクトルと平行であることを示せ。
(2) P(x,y)、Q(x,y)からlにおろした垂線の足をそれぞれR、Sとするとき、RSの長さを求めよ。
【解】
(1) 直線lはと垂直。
よって、と直線lは平行である。
(2) QからPRに垂線をおろし、垂線の足をHとし、QPとQHのなす角度をθとする。
また
よって、
(解答終わり)
問題2 △ABCと点Oがある。
とするとき、次の問いに答えよ。
(1) AからBCに引いた垂線上の点をPとし、とすると、
となることを証明せよ。
(2) 上の(1)を使って、△ABCの3垂線が1点で交わることを証明せよ。
【解】(1) AP⊥BCだから
(2) AからBCにおろした垂線とBからCAにおろした垂線の交点をPとする。
(1)より
①と②の辺々を足すと
よって、CP⊥ABとなり、△ABCの3垂線は1点で交わる。
(解答終わり)
問題3 △ABCにおいて、辺の長さをBC=a、CA=b、AB=cとする。
(1) △ABCの平面上の点Pが∠BACの2等分線(延長線も含む)の上にある条件は
であることを示せ。
(2) 3頂点の座標がA(1,3)、B(−2,0)、C(5,-1)のとき、∠BAC、∠ABCの2等分線の方程式を求めよ。また、△ABCの内心を求めよ。
【解】(1) ∠BAP=∠CAPだから
(2) ∠BACの2等分線上の点Pの座標を(x,y)とする。
よって、
∠ABCの2等分線上の点Pの座標を(x,y)とすると、(1)より
である。
よって、
内心はx=1とx−3y+2=0の交点だから、内心は(1,1)である。
(解答終わり)内心Pを求めるだけならば、
という公式があるので、これを使ってもよい。
【公式の略証】与式の両辺をを引く。
よって、点Pは、Aと辺ACをAB:ACに内分する点とを結ぶ直線、つまり、∠Aの2等分線上に存在する。
同様に、点Pは∠Bの2等分線上にあるので、点Pは△ABCの内心である。(略称終わり)
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