ワンポイントゼミ３ 球の体積

ワンポイントゼミ３　球の体積

半径rの円の体積Vは

　　

このことを定積分を使って求めることにする。

【方法１】

原点Oを中心とする半径rの半円は

　　

これをx軸のまわりに回転して得られる立体は球で、この体積Vとすると

　　

（おしまい）

　　

は偶関数だから、偶関数の定積分の性質から

　　

である。

途中計算でこれを使っている。

【方法２】

原点を中心とする球の方程式は

　　

x=t（−r≦t≦r）での断面（※）は

　　

したがって、平面x=tで切り取られる球の断面は(t,0,0)を中心とする半径の円（の円周とその内部）である。

この断面の面積S(t)は

　　

したがって、球の体積Vは

　　

（おしまい）

方法２の定積分は、方法１の計算のxがtに変わっているだけなので、計算しないけれど、このように計算することもできる。

（※）　x=±rにおける球の断面（？）を半径0の円とみなしている。

厳密には

　　

とすべきところなのだろうが・・・。

 

問題　半径rの円

　　

をx軸のまわりに１回転してできる立体の体積を求めよ。ただし、l≧rとする。

【解】

　　

より、

　　

そこで

　　

とする。

求める体積は、薄い水色で示されている、y₁とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積から、斜線部で示されているy₁とx軸とで囲まれている領域を回転してできる立体の体積を引いたもの。

したがって、

　　

となる。

　　

は、原点Oを中心とする半径rの半円の面積だから、

　　

これを①式に代入すると、

　　

（解答終わり）

注目して欲しいのは、この結果。

　　

問題の円を

　　

とすると、πr²はCの面積、2πlはCの重心G――円なので重心と中心は同じ――をx軸を中心にしてグルリと一周させたときに描く軌跡の長さ。

⑨より、問題で求めた円環体の体積Vは

　　円環体の体積V＝（円Cの重心が回転により描く軌跡の長さ）×（円Cの面積）

になっていることがわかる。

これは偶然のことか(^^)

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