３次方程式

３次方程式

問題１　x³+x−8=0は、ただ１つの実数解を、1と2の間にもつことを示せ。

【解】

f(1)=−6、f(2)=2だから、中間値の定理より、f(x)=0を満たすxが1<x<2に存在する。

f(x)=x³+x−8とすると、

　　

f(x)は単調増加。

したがって、f(x)=x³+x−8=0を満たす実数解は、1と2の間にただ一つである。

（解答終わり）

問題２　３次方程式x³+x²−x+a=0の実数解の個数がaの値によってどう変わるか調べよ。ただし、重複解は１つと数える。

【解】

x³+x²−x+a=0の実数解は

　　

とy=aとの共有点のx座標である。

①式を微分すると

　　

したがって、増減表は

x	…	−1	…	1/3	…
y'	−	0	＋	0	−
y	減少	−1	増加	5/27	減少

したがって、

a>5/27、a<−1のとき、実数解は１個

a=5/27、a=−1のとき実数解は２個（重複解が１つ）

−1<a<5/27のとき実数解は３個

（解答終わり）

問題３　３次方程式2x³+3x²−12x+a=0が重複解をもつようにaの値を定めよ。また、そのときの解を求めよ。

問題２と同じように、y=−2x³−3x²+12xとy=aの共有点の個数を調べてもいいが、次のように解くこともできる。

【解】

f(x)=2x³+3x²−12x+aとすると、

　　

よって、f'(x)=0の解はx=−2、x=1。

したがって、f(x)=0とf'(x)=0が共通解をもつならば、x=−2またはx=1でなければならない。

（１）　x=−2が重複解の場合

　　

このとき、

　　

よって、x=−2（重複解）、x=−5/2である。

（２）　x=1が重複解のとき

　　

このとき

　　

よって、x=1（重複解）、x=−7/2

（解答終わり）

【別解１】

f(x)=2x³+3x²−12x+a=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

　　

これを微分すると、

したがって、

　　

でなければならない。

（１）　α=−2のとき

aは

　　

（２）　α=1のとき、

（別解１終わり）

微分を使わずに、次のように解くこともできる。

【別解２】

αを重複解、βをもうひとつの解とする。

　　

左辺と右辺の係数を比較すると、

　　

①より

　　

これを②に代入すると

　　

（１）　α=−2のとき

（２）　α=1のとき

（別解２終わり）

問題４　３次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

y=x³+4x²+kx−18がx軸に接するということは、３次方程式x³+4x²+kx−18=0が重複解をもつということ。

３次方程式x³+4x²+kx−18=0の重複解をα、もうひとつの解をβとすると、

　　

解と係数の関係より

　　

①より

　　

これを③に代入すると

　　

よって、α=−3。

③より

　　

②より

　　

（解答終わり）