ワンポイントゼミ５ 問題４の別解

ワンポイントゼミ５　問題４の別解

記事「３次方程式」の問題４の別解を紹介する。こちらのほうが素直な解答。

問題４　３次関数y=x³+4x²+kx−18のグラフがx軸に接するように定数kの値を定めよ。

【解】

f(x)=x³+4x²+kx−18とおくと、f'(x)=3x²+8x+k。

f(x)がx軸と接するから、接点のx座標をαとすると、f(α)=0、f'(α)=0でなければならない。

　

②より

　　

これを①に代入すると

　　

g(α)=α³+2α²+9とすると、g(−3)=0。よって、g(α)はα−(−3)=α+3を因数に持つ（註・因数定理）。

したがって、

　　

α=−3を③に代入すると、

　　

（解答終わり）

このように解いてもよい。

【註】

因数定理

整式f(x)がx−aを因数にもつ必要十分な条件はf(a)=0である。

g(−3)=0だから、因数はx−（−3)=x+3。

x−3ではないので、注意！！

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