媒介変数で表された関数のグラフ [ネコ騙し数学]
媒介変数で表された関数のグラフ
問 次の関係式よりdy/dxを求めよ。
【解】
(1)
(2)
(解答終わり)
(1)、(2)からtを消去すると、
になるので、陰関数の微分を用いて次のように解くこともできる。
(1)
(2)
陰関数ではなく陽関数に直し
を微分してもよい。
これらは、曲線の表現法の違いと考えることができる。
しかし、次のような曲線(サイクロイド)の場合、y=f(x)という陽関数の形に直すことは絶望的。したがって、媒介変数の微分法を使って、極値や曲線の凹凸、変曲点を求めないとならない。
問題1 次の曲線のグラフをかけ。ただし、a>0とする。
【解】第2次導関数は
ゆえに、
したがって、yはt=πのとき、すなわち、x=πaで極大で、極大値は2a。
(解答終了)
問題2 曲線
のグラフをかけ。
【解】
この曲線はx軸に関して対称なので、0≦t≦√2で考える。さらに、
したがって、t=1の前後でd²y/dx²の符号が負から正に変わるので、(2,3)は変曲点。
t=0のとき、すなわち、x=0のとき、yは極大で極大値は4。
以上のことから、次のようなグラフになる。このようにして、媒介変数で表示された曲線の極値、変曲点、曲線の凹凸などを求めることができる。
ちなみに、何故、このとき、−2≦x≦2になるのか。
だから、これをtで微分すると、
したがって、t=−1のときxは極小で極小値が−2、t=1のときxは極大で極大値は2となる。
さらに、次の図をかき、このような結果が出てくる。
タグ:微分積分
2016-09-24 12:00
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