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媒介変数で表された関数のグラフ [ネコ騙し数学]

媒介変数で表された関数のグラフ



問 次の関係式よりdy/dxを求めよ。

  

【解】

(1)

  


(2)

  




(解答終わり)

(1)、(2)からtを消去すると、

  

になるので、陰関数の微分を用いて次のように解くこともできる。

graph-206.png

(1)

  

(2)

  


陰関数ではなく陽関数に直し

  

を微分してもよい。

これらは、曲線の表現法の違いと考えることができる。

しかし、次のような曲線(サイクロイド)の場合、y=f(x)という陽関数の形に直すことは絶望的。したがって、媒介変数の微分法を使って、極値や曲線の凹凸、変曲点を求めないとならない。

 


問題1 次の曲線のグラフをかけ。ただし、a>0とする。

  cycloid.png

【解】

  

第2次導関数は

  

ゆえに、

  

したがって、yt=πのとき、すなわち、x=πaで極大で、極大値は2a

また、この曲線は0<t<2πで上に凸。

graph-207.png

(解答終了)

 


問題2 曲線

  

のグラフをかけ。

【解】

この曲線はx軸に関して対称なので、0≦t≦√2で考える。

  

さらに、

  

したがって、t=1の前後でd²y/dx²の符号が負から正に変わるので、(2,3)は変曲点。

t=0のとき、すなわち、x=0のとき、yは極大で極大値は4

以上のことから、次のようなグラフになる。


graph-208.png

(解答終わり)

このようにして、媒介変数で表示された曲線の極値、変曲点、曲線の凹凸などを求めることができる。

ちなみに、何故、このとき、−2≦x≦2になるのか。

  

だから、これをtで微分すると、

  

したがって、t=−1のときxは極小で極小値が−2、t=1のときxは極大で極大値は2となる。

さらに、次の図をかき、このような結果が出てくる。

graph-209.png


タグ:微分積分
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