ワンポイントゼミ１６ 平均値の定理を利用して・・・

ワンポイントゼミ１６　平均値の定理を利用して・・・

この問題、解けますか？

問題

（１）　平均値の定理を用いて次の不等式を証明せよ。

　　

（２）　（１）の不等式を用いて、次の極限値を求めよ。

　　

この問題の（１）は、対数の次の性質

　　

を使うと、

　　

になるので、f(t)=logtとし、[x,x+1]においてf(t)に平均値の定理を使えば

　　

となるcが少なくとも一つ存在する。

　　

だから、

　　

x<c<x+1だから

　　

となり、

　　

になる。

よって、（１）は証明された。

問題は（２）！！

　　

とおき、これの対数をとる。

　　

（１）より

　　

k<nだから

　　

①と②より

　　

だから、

　　

n→∞の極限をとると

　　

よって、

　　

（２）の答えは

　　

いい問題だとは思うけれど、大学受験の試験会場で、高校生がこんな問題を解けるものだろうか！！

ちなみに、

　　

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