最大最小２

最大最小２

問題１　区間−1≦x≦1で定義された関数

について、次の問いに答えよ。

（１）　とおいて、f(x)をtの関数として表しなさい。

（２）　tの取りうる範囲を求めなさい。

（３）　f(x)の最大値、最小値を求めなさい。

【解】

（１）　として、両辺を２乗する。

　　

よって、

　　

（２）
　　

極値では、dt/dx=0になるので、

　　

x=−1/√2は解として不適。

増減表は

したがって、1≦t≦2+√2

（３）

　　

とする。

　　

よって、f(x)の最大値は1−√2/2、最小値は2√3−4

（解答終わり）

 

問題２　点P(x,y)が円の上を動くとき、

（１）　x−y=tとおきtの変化の範囲を調べよ。

（２）　関数

　　

の最大値、最小値を求めよ。

【解】

（１）　点P(x,y)は円上の点だから

　　

とあらわすことができる。

したがって

　　

【別解】

x−y=tだから、y=x+t。
(x,y)は円周上の点だから

　　

に代入すると、

　　

xは実数だから、２次方程式の判別式をDとすると、

　　

【別解２】

直線x−y=tと原点の距離dは

　　

直線x−y=tと円は共有点を持たないといけないので、

　

などなど、（１）については、色々な方法でtの範囲を求めることができる。

（２）

　　

よって、

　　

で、

　　

とおき、tで微分すると
　　

極値をとるところではg'(t)=0だから

　　

を解くと、

　　

−√2/2≦t≦√2/2だから

　　

したがって、増減表は

（解答終了）

問題３　aを0<a<1なる実数とする。放物線

　　

に点(0,1)から２本の接線をひき、その接線とx軸との交点をそれぞれQ、Rとするとき、△PQRの面積が最小となるように、aの値を定めよ。

【解】

接点のx座標をαとすると、接線の方程式は

　　

これが点(0,1)を通るので、
　　

よって、接線の方程式は

　　

Q、Rのx座標をそれぞれq,rとする。

Q、Rは、上記の接線とx軸、つまり、y=0との交点だから、y=0を代入すると、

　　

よって、△PQRの面積Sは

　　

ここで、t=√aとおくと

　　

となる。

Sが最小のとき、分母が最大になるので

　　

とおき、g(t)の増減を調べる。

　　

0<t<1だから、g(t)はt=1/√3のとき、極大かつ最大になる。

t=√a=1/√3だからa=1/3のとき、Sは最小になる。

【解答終了】

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