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定積分と区分求積法 [ネコ騙し数学]

定積分と区分求積法



§1 定積分と区分求積法

f(x)が閉区間[a,b]で連続であるとき、この区間をn等分し、

  

とし、

  

とすると、
  kbk-01.png

である。

ここで、

  kbk-02.png


f(x)=x²のとき、

  

を、区分求積法を用いて求めてみる。

a=0b=1として、これをn等分すると

  kbk-00.png  

したがって、

  

よって、

  



§2 数列の和の極限への定積分の応用


問題1 定積分を利用して、次の極限値を求めよ。

kbk-04.png

【考え方】

  

ここで、考え方2つある。


考え方1

  

と考えて、

  


考え方2

  

と考え、

  


どちらの考え方でこの極限値を求めてもいいが、ここでは考え方2を使って問題を解くことにする。


(2)

  kbk-06.png

だから、

  

と考え、
  

ここで、x=2sinxとおき、置換積分を使うと

  


(3)は

  kbk-08.png

と変形し、

  

と考え、
   

とすればよい。


【解】

(解答終了)


問題2 定積分を用いて次の不等式を証明せよ(n≧2)。

【解】

(1) 0<k−1<x<kにおいてgraph-361.png

  

k=2からk=nまでの和をとると

  

つまり、

  


graph-360.png(2)

 0<k<x<k+1とすると

  

である。

  

k=1からk=n−1までのの左辺と右辺の和をとると
  

である。

  

k=1からk=nまでの右辺と左辺の和をとると
  

①と②より

  

(解答終わり)
タグ:微分積分
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