定積分と区分求積法 [ネコ騙し数学]
定積分と区分求積法
§1 定積分と区分求積法
f(x)が閉区間[a,b]で連続であるとき、この区間をn等分し、とし、
とすると、
である。
ここで、例
f(x)=x²のとき、を、区分求積法を用いて求めてみる。
a=0、b=1として、これをn等分すると
したがって、
よって、
§2 数列の和の極限への定積分の応用
問題1 定積分を利用して、次の極限値を求めよ。
【考え方】
ここで、考え方2つある。
考え方1
と考えて、
考え方2
と考え、
どちらの考え方でこの極限値を求めてもいいが、ここでは考え方2を使って問題を解くことにする。
(2)
だから、
と考え、
ここで、x=2sinxとおき、置換積分を使うと
(3)は
と変形し、
と考え、
とすればよい。
【解】
(解答終了)
問題2 定積分を用いて次の不等式を証明せよ(n≧2)。
【解】k=2からk=nまでの和をとると
つまり、
(2)
0<k<x<k+1とすると
である。
k=1からk=n−1までのの左辺と右辺の和をとると
である。
k=1からk=nまでの右辺と左辺の和をとると
①と②より
(解答終わり)
タグ:微分積分
2016-10-23 12:00
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