定積分の近似計算

定積分の近似計算

（１）　台形公式　積分区間[a,b]をn等分して用いる。

　　

台形公式は、

　　

と近似し、
　　

としている。

（２）　シンプソンの公式　積分区間[a,b]を2n等分して用いる。

　　

問題１　シンプソンの公式を導くのに用いられる次の等式を証明し、これによって、シンプソンの公式は、積分区間の等分数（偶数等分）にかかわらず、f(x)が３次以下の整式のとき真の値を与えることを示せ。

【解】

（１）　f(x)=px³+qx²+rx+sとおくと、
　　

また、

　　

よって、f(x)が３次以下の整式のとき

　　

（２）

　　

とおき、x=t+cとすると、

　　

さらに、x=aのとき、t=−h、x=bのときx=bのときt=h。

したがって、

　　

とおくと、（１）より

　　

また、
　　

だから、これを①に代入すると、

　　

（解答終了）

 

問題２　f(x)が２次関数で、f(−3)=5、f(0)=8、f(3)=2であるとき、

　　

を求めよ。

【解】

f(x)は２次関数だから、シンプソンの公式より

　　

（解答終了）

 

問題３　区間[0,1]を４等分して、台形公式、シンプソンの公式によって、

　　

の近似を求めよ。

また、シンプソンの公式から求めた近似値からπの近似を求めよ。

【解】

[0,1]を４等分した点0、1/4、1/2、3/4、1に対する被積分関数の値をy₀、y₁、y₂、y₃、y₄とすると

　　
したがって、

台形公式による近似値は
　　

シンプソンの公式による近似値は

　　

x=tanθとおくと

　　

また、

　　

x=0のときθ=0、x=1のときθ=π/4だから

　　

シンプソンの公式より

　　

（解答終わり）

 

問題４　0から1までを４等分して、シンプソンの公式から

　　

の近似値を求めよ。

【解】

[0,1]を４等分した点0、1/4、1/2、3/4、1に対する被積分関数の値をy₀、y₁、y₂、y₃、y₄とすると

　　

したがって、
　　

（解答終了）