ワンポイントゼミ２２ 定積分と不等式１の補足

ワンポイントゼミ２２　定積分と不等式１の補足

定積分と不等式１で出てきた内容を補足することにする。

まず、次の不等式を証明することにする。

　　

【証明】

　　

とし、f(x)の変化を調べるために、xで微分する。

　　

したがって、0<x<π/2でf'(x)>0で、f(x)は単調増加。

よって、

　　

次に

　　

とする。

　　

cosα=2/πとすると、g(x)の増減表は

となり、x=0、x=π/2のときに最小で、最小値は0

よって、0<x<π/2において

　　

（証明終了）

次に、

　　

の極限を求めることにする。

　　

と考えると、x→0+0のとき、logx→−∞、1/x→+∞となり、①の極限はいわゆる不定形の極限になる。

そこで、ロピタルの定理を使うと

　　

になる。

問題３の（１）のグラフで

　　

の

　　

は、こうして求めている。

x=0のところで白抜きの丸で表現されているのは、そういうわけです。

（下図参照）

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