定積分の応用 面積1 [ネコ騙し数学]
定積分の応用 面積1
§1 平面図形の面積
(1) 曲線と座標軸との間の面積曲線y=f(x)(a≦x≦b)とx軸との間の面積をSとすると
特に、
曲線x=g(y)(α≦x≦β)とy軸との間の面積をSとすると
(2) 2曲線間で囲まれた部分の面積
区間a≦x≦bにおける2つの曲線y=f(x)、y=g(x)の間の面積をSとすると特に、
§2 平面図形の面積についての基本問題
復習をかねて、y=f(x)、x=g(y)が整関数である場合についての基本問題を解くことにする。
問題1 次の図形の面積を求めよ。
(1) 曲線y=x³−6x²+9x−4と直線y=x−4で囲まれた部分(2) 放物線y²=2x+5と直線y=x+1で囲まれた部分
【解】(1) y=x³−6x²+9x−4とy=x−4との交点のx座標は
したがって、面積は
よって、放物線と直線の交点のy座標は
したがって、面積は
(解答終了)
(2)は、前回証明した公式
に対して、a=−1/2、α=−1、β=3とおくことによって、
と計算することもできる。
また、放物線y²=2x+5を
と考えるならば(上図参照)、次のように計算することができる。
xの関数と考えて面積を求めようとすると、計算が大変になる。
問題2 次の図形の面積を求めよ。
(1) 曲線とx軸、および直線x=3で囲まれた部分
(2) 双曲線とx軸、y軸の正の部分によって囲まれた部分
(3) 2つの曲線y=x²と√x+√y=2とy軸とで囲まれた部分
(1)
したがって、
(3)
よって、求める面積は
(解答終了)
問題3 次の不等式を同時に満足する領域の面積を求めよ。
【解】
(1) x²+y²=2とx=y²の交点のx座標を求めると
x=−2は解として不適なのでx=1。
したがって、面積Sは
ここで、
よって、
(2) とはy=xに関して対称。
したがって求める面積Sは、
S=□OABC−2×斜線部の部分の面積
曲線は
斜線部の面積は
したがって、Sは
(解答終了)
コメント 0