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定積分の応用 面積1 [ネコ騙し数学]

定積分の応用 面積1


§1 平面図形の面積

(1) 曲線と座標軸との間の面積

曲線y=f(x)a≦x≦b)とx軸との間の面積をSとすると

  

特に、

  fm01-00.png


曲線x=g(y)α≦x≦β)とy軸との間の面積をSとすると

  


(2) 2曲線間で囲まれた部分の面積

区間a≦x≦bにおける2つの曲線y=f(x)y=g(x)の間の面積をSとすると

  

特に、

  



§2 平面図形の面積についての基本問題


復習をかねて、y=f(x)x=g(y)が整関数である場合についての基本問題を解くことにする。


問題1 次の図形の面積を求めよ。

(1) 曲線y=x³−6x²+9x−4と直線y=x−4で囲まれた部分

(2) 放物線y²=2x+5と直線y=x+1で囲まれた部分

【解】

(1) y=x³−6x²+9x−4y=x−4との交点のx座標は

  


graph-281.png

したがって、面積は
  

graph-282.png(2) y²=2x+5y=x+1xについて解くと

  

よって、放物線と直線の交点のy座標は
  fm01-02.png

したがって、面積は

  

(解答終了)


(2)は、前回証明した公式

  fm01-09.png

に対して、a=−1/2α=−1β=3とおくことによって、

  fm01-10.png

と計算することもできる。




graph-283.png


また、放物線y²=2x+5
  
と考えるならば(上図参照)、次のように計算することができる。

  

xの関数と考えて面積を求めようとすると、計算が大変になる。



問題2 次の図形の面積を求めよ。

(1) 曲線x軸、および直線x=3で囲まれた部分

(2) 双曲線x軸、y軸の正の部分によって囲まれた部分
(3) 2つの曲線y=x²と√x+√y=2y軸とで囲まれた部分

【解】

(1)

  


graph-284.png(2)

  

したがって、
  fm01-03.png


(3)

  fm01-04.png


graph-285.png

この曲線とy=x²の交点のx座標を求めると

  

よって、求める面積は

  

(解答終了)

 


問題3 次の不等式を同時に満足する領域の面積を求めよ。

【解】

(1) x²+y²=2x=y²の交点のx座標を求めると

  

x=−2は解として不適なのでx=1

graph-286.png

したがって、面積S

  

ここで、
  

よって、

  


graph-287.png2) y=xに関して対称。

したがって求める面積Sは、

  S=□OABC−2×斜線部の部分の面積

曲線

  fm01-06.png

斜線部の面積は

  

したがって、S
  

(解答終了)


タグ:微分積分
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