定積分の応用 面積3 曲線が媒介変数で表された場合 [ネコ騙し数学]
定積分の応用 面積3 曲線が媒介変数で表された場合
曲線がパラメータで表された場合
次のようにパラメータ・媒介変数で表された曲線が、区間a≦x≦bの間でx軸と囲む部分の面積は
で与えられる。
特に、a≦x≦bにおいて、y≧0のとき
である。
問題1 サイクロイド
とx軸とで囲まれる1つの部分の面積を求めよ。
【解】
だから、
(解答終了)
問題2 次の点(x,y)のえがく曲線の囲む図形の面積を求めよ。ただし、a>0、b>0とする。
【解】
この曲線の囲む面積Sは、第1象限の部分を4倍したものと等しい。
x=のときθ=π/2、x=aのときθ=0。
よって、
(2) この曲線は
この曲線で囲まれる面積は第1象限の部分を4倍したものに等しい。したがって
(解答終了)
上の計算では次の公式を使っている。
この公式の証明は定積分の漸化式のところで証明をしてある!!
問題3 楕円
の上に点P(acosθ,bsinθ)がある。1つの頂点をA(a,0)、中心をOとし、2つの線分OA、OPと弧APとによって囲まれる図形の面積を求めよ。ただし、0<θ<π/2とする。
弧AP上の点の座標を
とする。
求める面積Sは
(解答終了)
タグ:微分積分
2016-11-02 12:00
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