定積分の応用 立体の体積

定積分の応用　立体の体積

§１　立体の体積

（１）　回転体の体積

曲線y=f(x)（a≦x≦b）をx軸のまわりに回転した体積を、x=g(y)（α≦y≦β）をy軸のまわりに回転した体積をとすると、

　　

である。

（２）　一般の立体の体積

座標xにおけて軸に垂直な切断面の面積がS(x)ならば、この立体のa≦x≦bの間の体積Vは

　　

§２　問題編

問題１　次の問いに答えよ。

（１）　y=1+√x、y=0、x=0、x=2の囲む部分をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

（２）　y=sinxとx軸とx=0およびx=πの囲む部分をx軸のまわりに観点して得られる立体の体積を求めよ。

（３）　曲線y=logxとx軸およびx=eで囲まれる部分をx軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

（解答終了）

問題２　次の問いに答えよ。

（１）　y=log(1+x)、y=2、y軸で囲まれた部分を、y軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

（２）　y=1−√xと両軸の世の部分で囲まれた部分をy軸のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

（１）　y=log(1+x)をxについて解くと

　　

よって、体積Vは

　　

（２）　y=1−√xをxについて解くと

　　

よって、

　　

（解答終了）

 

問題３　y=2sinxとy=1（π/6≦x≦5/6π)の囲む部分をy=1のまわりに回転して得られる立体の体積を求めよ。

【解】

曲線y=2sinx上の動点Pの座標を(x,y)とし、Pからy=1に下ろした垂線の足をHとする。

y=2sinxをy=1まわりに回転させて得られる図形を、xで垂直に切った断面積S(x)は、PH=y−1だから

　　

したがって、この図形の体積Vは

　　

（解答終了）

 

問題４　曲線y=cosx（−π/2≦x≦π/2）とx軸とで囲まれた図形が、x軸のまわりに回転してできる立体の体積V₁を求めよ。また、この図形をy軸ののまわりに回転してできる立体の体積V₂を求めよ。

【解】　　
　　
y軸のまわりに回転して得られる体積V₂は

　　

y=cosxだから、y=0にはx=π/2、y=1には0が対応する。

したがって、

　　

よって、

　　

（解答終了）