定積分の応用 体積３

定積分の応用　体積３

問題１　曲線y=−x²+2xと直線y=−xとで囲まれた部分をx軸のまわりに回転してできる回転体の体積を求めよ。

この問題のように、２曲線が回転軸に関して同じ側にない場合、回転した際の曲線の上下で重なる部分の様子がわかりづらい。

このような場合、曲線、直線に絶対値をつけたもので考えるとよい。つまり、

　　

そうすると、次の図になる。

【解】

回転の元になる図をx軸の上側にくるようにx軸で折り返して考えると、

外側の線は

　　

内側の線は

　　

したがって、

　　

（解答終了）

 

問題２　２つの曲線y=sinx、y=sin2xで囲まれた次の部分をx軸のまわりに回転してできる立体の体積を求めよ。

（１）　0≦x≦π/3の範囲で囲まれた部分

（２）　π/3≦x≦πの範囲で囲まれた図形

【解】

（１）



体積Vは

　　

（２）　曲線y=sin2xの3/π≦x≦πの部分をx軸に関して対称に折り返して考えると、下の図のようになる。

したがって、体積Vは

　　

（解答終了）

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