積分の応用 道のり

積分の応用　道のり

動点Pの座標(x,y)が時刻tの関数として

　　

で表されるとすれば、Pの描く曲線は時刻tを媒介変数とする方程式と考えることができ、動点Pが時刻t₁からt₂までの間に進む道のりsは、区間[t₁,t₂]の曲線①の弧の長さに等しい。

したがって、

　　

dx/dt、dy/dtは、それぞれ、点Pのx軸方向、y軸方向の速度だから、

　　

とすると、（１）式は

　　

と書くことができる。

時刻t₁における点Pの位置を(x₁,y₁）とすると、時刻tにおける点Pの位置は

　　

で与えられる。

問題１　x軸上を運動する点Pがある。出発してからt秒後におけるPの速度vは

　　

であるという。

t=0からt=πまでの間に

（１）　どれだけの位置の変位があるか。

（２）　実際に動いた距離を求めよ。

【解】

（１）　t=0のときのPの座標x₀、t=πのときの座標をxとすると

　　

したがって、変化なし。

（２）

　　

したがって、0≦t≦π/3のときv≧0、π/3≦t≦πのときv≦0である。

よって、

　　

（解答終了）

問題２　原点を出発して座標平面上を移動する点Pのt秒後の速度ベクトルの成分が

　　

であるとき、

（１）　Pの経路をあらわす方程式をtを媒介変数としてあらわせ。

（２）　出発後t（t>0）秒間に動いた距離を求めよ。

【解】

（１）　t秒後の点Pの座標を(x,y)とすると

　　

（２）　動いた距離をsとすると

　　

（解答終了）

問題３　半直線OXが、点Oのまわりを毎秒1ラディアンで回転している。OX上を移動する点Pが時刻tにおいて、点Oからcmにあるという。

（１）　t秒後の点Pの座標(x,y)をtであらわせ。ただし、Oを座標原点とし、t=0における半直線OXをx軸の正の向きにとることにする。

（２）　時刻t=0から2π秒までの間に動く点Pの動く距離を求めよ。

【解】

（１）　x軸と半直線OXのなす角度をθとすると、θ=t。

問題の条件より線分OPの大きさは

　　

だから、t秒後の点Pの座標は

　　

である。

（右図参照）

（２）

　　

よって、移動距離は

　　

（解答終了）

問題４　点(0,1)から出発して曲線

　　

の第１象限にある部分の上を毎秒１の速さで動く点Pを考える。

（１）　t秒後における点Pのx座標をtの関数としてあらわせ。

（２）　Pからx軸のおろした垂線の足の動く速さをtであらわせ。

【解】

（１）　毎秒1の速さで点Pは曲線上を移動するので、t秒後の点(0,1)と点Pの曲線の長さはt。

したがって、t秒後の点Pのx座標をxとすると

　　

だから、これは解として不適。

よって

　　

（２）

　　

（解答終了）

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