定積分の応用 体積の変化とその割合

定積分の応用　体積の変化とその割合

問題１　ある容器に、体積Vの水を入れると、水の深さが√Vになる。この容器に水の深さがhになるまで水を入れるとき、その水面の面積を求めよ。

【解】

水の深さがyのときの水の体積をV(y)、水面の面積をS(y)とする。

問題の条件より、y=√Vだから

　　

ゆえに、

　　

両辺をyで微分すると、

　　

したがって、y=hのときの水面の面積は

　　

（解答終わり）

深さyのときの断面積S(y)がS(y)=2yだから

　　

で、問題１のy=√Vと一致している。

 

問題２　放物線y=x²をy軸のまわりに回転してできる曲面を内面とする容器がある。毎秒50πの割合で注水するとき、100秒後の水面の上昇速度を求めよ。

【解】

t秒後の高さをy、体積をVとすると、

　　

これは注水された水の体積50πtに等しいので、

　　

したがって、t=100のときの水面の上昇速度は

　　

（解答終了）

 

問題３　曲線y=x²（長さはcm）のy軸を軸として回転してできる曲面を内壁とする（回転の軸を鉛直に保つ）に、毎秒vcm³ずつ注入する。水を入れ始めてからt秒後における、次のものを求めよ。

（１）　水の深さ

（２）　水面の面積

（３）　水深の増加速度

（４）　水面の面積の増加速度

【解】

（１）　t秒後の水の深さをyとすると、そのときの体積Vは

　　

これは水の注水量と等しいので、

　　

（２）　水面の面積Sは

　　

（３）　（１）より

　　

（４）　（２）より

　　

（解答終了）

 

問題４　半径acmの半球形の容器に水がいっぱい入っている。この容器を一定方向に毎分1ラディアンの割合で静かに傾けるとき、

（１）　t分後に容器に残る水の量を求めよ。

（２）　t分後に流れでた水の量を求めよ。

（３）　流れ出る水量の変化率をtの関数としてあらわせ。

【解】

（１）　原点Oを中心とする半径aの円の方程式はx²+y²=a²。

したがって、右図の水色の部分

　　

をy軸まわりに回転してできる回転体の体積は

　　

したがって、t分後に容器に残る水の量は

　　

（２）　傾ける前の水の量は

　　

したがって、t分間に流出した水の量は

　　

（３）　流れ出る水量の変化率は

　　

（解答終了）

タグ：微分積分