定積分の応用 水の問題など

定積分の応用　水の問題など

問題１　半径1cmの円管から流れ出る水の速さが毎秒vcmで、v=3√t（tは時間で単位は秒）であらわされるとき、出始めてから9秒間に流れ出る水の量を求めよ。

【解】

t秒後における瞬間流出量は「断面積×水の速さ」に等しいので、

　　

よって、9秒間に流れ出る水の量は

　　

（解答終了）

 

問題２　一様な断面をもつ水槽がある。この水槽の底に開けた穴から水が流れだすときは、水位hの降下する速さは、そのときの水位の平方根に比例するという。このとき、次の問いに答えよ。

（１）　水位の降下する速さと水位との関係式を求めよ。

（２）　水位の降下に対する時間の変化率と水位との関係を求めよ。

【解】

（１）　水位の降下する速度vはそのときの水深hに比例するのだから

　　v=kh　　（kは比例定数）

 

（２）

　　

だから、

　　

（解答終了）

ちなみに、①は

　　

と解くことができる。

問題３　高さhcm、底面積がAcm²の直方体の水槽の底に、断面積acm²の小さな穴の流れ口がある。この水槽にいっぱいに満たしてある全水量が流出した水量をVcm³を求めよ。

ただし、水の深さがxcmのとき、穴から出る水の速さはトリチェリーの法則より

　　

である。

【解】

流失が始まってからt秒間に流出した水の量Vに関しては次の関係式が成立する。

　　

水深がxcmのとき、水槽内の水の減少分はA(h−x)でこれは流失した水の量に等しい。

すなわち、

　　

これをtで微分すると、

　　

①と②より

　　

水槽の水が空になる時刻をTとすると、
　　

（解答終了）

③の微分方程式を解いてからTを求めてもよい。

【別解】
　　

t=0のときx=hだから

　　

よって、

　　

t=Tのときx=0になるから

　　

（別解終了）

 

問題４　毎秒1cm³の割合で水のもれる容器がある。この容器を空にしてから、毎秒4cm³の割合で水を注ぎ始めたところ、10秒後から注水管の出が悪くなり、２秒たって止まった。この２秒間の注水管の水の出の速さは毎秒(4−t²)cm³であった。ただし、tは水の出が悪くなってからの秒数とする。

（１）　容器が再び空になるのは何秒後か。

（２）　最も多くなったときの容器の水量はいくらか。

【解】

（１）　容器内の水の量をVとすると、水の出が悪くなるまでに容器内にたまった水の量は(4−1)×10=30cm³。

したがって、0≦t≦2の水の量は

　　

t=T秒後に容器が空になるとすると、

　　

したがって、容器が空になるのは

　　

（２）　Vの最大値は0≦t≦2にある。したがって、0≦t≦2の範囲で考えればよい。

　　

よって、Vはt=√3のときに極大、かつ、最大で、最大値は

　　

（解答終了）

 

問題５　x軸上を動く点Pの時刻tにおける位置はx、速度がv=x(x−1)で与えられるとき、x=2からx=3まで動くまでに要する時間を求めよ。

【解】

　　

時刻t=0のときx=2、t=Tのときx=3とすると、
　　

（解答終了）

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