定積分と級数

定積分と級数

問題１

　　

の両辺にをかけて、右辺の積を差にあらわすことにより和を求めよ。ただし、θ≠2nπとする。

【解】

　　

の両辺にをかけると

　　

θ≠2nπだから

よって、

　　

（解答終了）

上の計算では、三角関数の積を和（差）にかえる次の公式を使っている。

　　

cosθは偶関数だから、

　　

同様に、

　　

の両辺にをかけることによって

　　

と、この三角級数の和を求めることができる。

 

問題２　定積分の定義にしたがって次の定積分の値を求めよ。

　　

【解】

閉区間[0,π]をn等分し、

　　

とする。

区分求積法より

　　

π/n=θとおくと、問題１より

　　

よって、
　　

（解答終了）

問題３　nを０または正の整数とし、

　　

とおくとき、次の関係を証明せよ。
　　

【解】

（１）

　　

とおく。

　　

0<x<π/4でsec²xは増加関数。

　　

よって、0<α<π/4にf'(α)=0となるαがただ一つ存在し、x=αのときf(x)は極小かつ最小になる。

f(0)=f(π/4)=0だから、0<x<π/4のときf(x)<0。

したがって、

　　

（２）　0<x<π/4において

　　

したがって、

　　

（３）

　　

（４）　n=2kとし（３）の結果を利用すると、

　　

したがって、

（２）から

　　

だから、

　　

（解答終了）

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