So-net無料ブログ作成

陽解法による拡散方程式の解法の安定性 [ネコ騙し数学]

陽解法による拡散方程式の解法の安定性


次の拡散方程式がある。

  

ここで、uは時刻tと位置xの関数、すなわち

  

とする。
陽解法は(1)を次の差分方程式に置き換えて、次の差分方程式を解くことによって(1)の近似解を求める。

  

とおくと、(2)は

  

差分方程式(2)の厳密解は(3)を満たすので、誤差も(3)を満たすと考えられる。
つまり、

  

誤差が次のように表せるとすると、

  

(4)より

  

オイラーの公式より

  

だから、

  

さらに、半角公式

  

より

  

で、

  

だから、 (5)式の右辺は誤差の倍率をあらわすと考えられる。

したがって、

  

のときに、は収束する。

で、

  

とおくと、

  

を満たすK

  

したがって、

  

これをすべてのkについて満たさなければならないから、

  


上の議論は正確なものではないので注意。

このようにして、陽解法の

  

という制限、条件が出てくるという話です。

さてさて、この話は本当かということで、この検証のためのスプレッドシートを作り、実験してみた。

解く偏微分方程式は、

  

これをΔt=0.25Δx=0.5で解いた結果はこれ。
x=1とx=2の計算結果を示してある。




厳密解、そして、陰解法で解いた結果と良好な一致を見せており、このスプレッドシートの正当性を示している。


r=0.5
の場合





r=0.6
の場合。



時間の経過とともに誤差が次々と伝播、増大し、数値解が激しく振動してしまう。


タグ:微分積分
nice!(1)  コメント(0)  トラックバック(0) 

nice! 1

コメント 0

コメントを書く

お名前:
URL:
コメント:
画像認証:
下の画像に表示されている文字を入力してください。

トラックバック 0