関数方程式 [ネコ騙し数学]
関数方程式
問題1 a、bの任意の値に対してつねに、次の関係が成り立つように微分可能な関数f(x)を求めよ。
【解】
任意の定数aに対して
両辺をxで微分すると
f'(0)=Aとすると、
したがって、
また、
よって、B=0。
したがって、
(解答終了)
問題2 すべての実数xに対して0でない関数f(x)があり、任意のx₁、x₂に対して
を満足するものとする。
(1) f(0)=1であることを示せ。
(2) f'(0)=2であるとき、f'(x)の定義より、f'(x)=2f(x)であることを示せ。(3) 任意の実数xに対してf(x)>0であることを示せ。
(4) (2)で与えられた微分方程式からf(x)を求めよ。【解】
(1) x₁=x₂=0とするとf(0)≠0だから、両辺をf(0)で割って、f(0)=1である。
(2)
(3)
(4) y=f(x)とおくと、微分方程式f'(x)=2f(x)は
f(0)=1だから、C=1。
よって、(解答終了)
問題3 f(x)はすべての実数に対して定義され、正の値をとる連続関数で、
とおくとき、
である。
(1) F(x)=f(x)+g(x)、G(x)=f(x)−g(x)とするとき、
であることを証明せよ。
(2) f(x)を求めよ。
【解】(1)
をxで微分すると、
F(x)=f(x)+g(x)をxで微分すると
G(x)=f(x)−g(x)をxで微分すると、
(2) y=F(x)とおくと、
条件
にx=0を代入すると、
すべての実数xに対してf(x)>0だから、f(0)=1。
よって、
同様に微分方程式
を解くと
x=0のとき
したがって、
これをf(x)、g(x)について解くと
(解答終了)
問題では、f(x)だけを求めよとあるけれど、g(x)も簡単に求められるので、求めた。
が成り立っていることが分かると思う。
実は、問題3で求めたf(x)、g(x)は双曲線関数と呼ばれるもので
三角関数と類似した性質を持っている。
たとえば、
や
などなど。
そして、
タグ:微分積分
2016-11-24 12:00
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