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関数方程式 [ネコ騙し数学]

関数方程式


問題1 abの任意の値に対してつねに、次の関係が成り立つように微分可能な関数f(x)を求めよ。

  

【解】

任意の定数aに対して

  

両辺をxで微分すると

  

f'(0)=Aとすると、

  

したがって、

  

また、

  

よって、B=0

したがって、

  

(解答終了)

 


問題2 すべての実数xに対して0でない関数f(x)があり、任意のx₁x₂に対して

  

を満足するものとする。

(1) f(0)=1であることを示せ。

(2) f'(0)=2であるとき、f'(x)の定義より、f'(x)=2f(x)であることを示せ。

(3) 任意の実数xに対してf(x)>0であることを示せ。

(4) (2)で与えられた微分方程式からf(x)を求めよ。

【解】

(1) x₁=x₂=0とすると

  

f(0)≠0だから、両辺をf(0)で割って、f(0)=1である。

(2)

  


(3)

  hk-eq-02.png

(4) y=f(x)とおくと、微分方程式f'(x)=2f(x)

  hk-eq-03.png

f(0)=1だから、C=1

よって、

  

(解答終了)


問題3 f(x)はすべての実数に対して定義され、正の値をとる連続関数で、

  

とおくとき、

  

である。

(1) F(x)=f(x)+g(x)G(x)=f(x)−g(x)とするとき、

  

であることを証明せよ。

(2) f(x)を求めよ。

【解】

(1)

  

xで微分すると、
  

F(x)=f(x)+g(x)xで微分すると

  

G(x)=f(x)−g(x)xで微分すると、

  

(2) y=F(x)とおくと、

  hk-eq-08.png

条件

  

x=0を代入すると、

  

すべての実数xに対してf(x)>0だから、f(0)=1

よって、

  

同様に微分方程式

  

を解くと

  

x=0のとき

  

したがって、

  

これをf(x)g(x)について解くと

  

(解答終了)

 


問題では、f(x)だけを求めよとあるけれど、g(x)も簡単に求められるので、求めた。

  

が成り立っていることが分かると思う。

実は、問題3で求めたf(x)g(x)は双曲線関数と呼ばれるもので

  

三角関数と類似した性質を持っている。

たとえば、

  


  

などなど。

そして、

  


タグ:微分積分
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