関数方程式2 [ネコ騙し数学]
関数方程式2
問題1 微分可能な関数で、次の条件を満たすものを求めよ。
【解】
(1)
両辺をxで微分すると
さらに両辺をxで微分すると、
y=f(x)とおくと、
①にx=0を代入すると、
したがって、
(2) x−t=uとおくと、t=x−uで、t=0にはu=x、t=xにはu=0が対応する。
また、dt=−duだから両辺をxで微分すると、
①にx=0を代入すると、f(0)=0。
よって、
y=f(x)とおくと
x=0のときy=0だから、C=1。
よって、
(解答終了)
問題2 [0,1]で定義された連続関数f(x)が連続な導関数f'(x)をもち、f(0)=2とする。
いま、この関数が、g(0)=g(1)=0をみたす[0,1]で連続な任意の関数g(x)(連続な関数g'(x)をもつとする)に対してをみたすとき、
(1) f'(x)−3f(x)=0を証明せよ。
(2) f(x)を求めよ。【解】
(1) 部分積分するとしたがって、
g(x)は任意の関数だから、
とおくと、
よって、
である。
(2) y=f(x)とおくと
x=0のときy=2だからC=2。
よって
(解答終了)
タグ:微分積分
2016-11-25 12:00
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